Lokaler Homöomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe mal eine Frage zur Defintion eines lokales Homöomorphismus.
Ein Funktion f zwischen topologischen Räumen ist ja ein Homöomorphismus, wenn f bijektiv ist, wenn f stetig ist und wenn die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist.
So, bei einem lokalen Homöomorphismus hat ja jeder Punkt a [mm] \in [/mm] X eine offene Umgebung U [mm] \subset [/mm] X , so dass f eingeschränkt auf U ein Homöomorphismus ist.
Ich verstehe irgendwie nicht so ganz den Unterschied zwischen einem lokalen Homöomorphismus und einem "normalen" Homöomorphismus.
Wenn ich jetzt meinen lokalen Homöomorphismus f nehme, dann hab ich ja quasi einen Homöomorphismus für jeden Punkt des Defintionsbereiches (+ denen in seiner Umgebung).
D.h. f ist in jedem Punkt stetig, f{-1} auch. Damit ist doch schonmal ganz f und ganz [mm] f^{-1} [/mm] stetig. Und mit der Bijektivität ist doch auch so, oder nicht?
Damit ist doch im Grunde mein "komplettes" f - wenn ich alle Punkte/Umgebungen betrachte - ein "normaler" Homöomorphismus, oder nicht?
Wisst ihr was ich meine?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Do 07.07.2011 | | Autor: | SEcki |
> Damit ist doch im Grunde mein "komplettes" f - wenn ich
> alle Punkte/Umgebungen betrachte - ein "normaler"
> Homöomorphismus, oder nicht?
Nein. f muss weder injektiv noch surjektiv sein!
Nicht injektiv: Die Exponentailfunktion [m]x\mapsto exp(ix)[/m]
Nicht surjektiv: jede nicht triviale Inklusion! ZB [m](0,1)\subset \IR[/m].
SEcki
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