Lokales Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Abend zusammen =)
Ich bräuchte mal ein wenig Hilfe bzw. eine Anleitung zur Bestimmung des lokalen Minimalpolynoms mit den Einheitsvektoren [mm] $e_1,e_2,e_3$.
[/mm]
Mal angenommen wir haben folgende Matrix:
A = [mm] \begin{pmatrix}
8 & 4 & 12 \\
0 & 1 & 0 \\
-3 & 2 & -4
\end{pmatrix}
[/mm]
Das Charakteristische Polynom dieser Matrix ist [mm] $\mu_{A} [/mm] = [mm] (\lambda-2)^2(\lambda-1)$.
[/mm]
Wie gehe ich jetzt nun vor. Ich habe immer gedacht, dass ich so vorgehen müsste:
[mm] $e_1\underrightarrow{A}\quad $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$\underrightarrow{A^2}\quad $\begin{pmatrix} 28 \\ 0 \\ -12 \end{pmatrix}$\underrightarrow{A^3}\quad $\begin{pmatrix} 80 \\ 0 \\ -36 \end{pmatrix}
[/mm]
Dann muss man mit Hilfe dieser Vektoren die Null erzeugen und wenn nun diese Linearkombination das Minimalpolynom teilt ist es das lokale Minimalpolynom. Nur habe ich jetzt das Problem, dass das bei der Matrix mit allen Einheitsvektoren funktioniert :D
Kann mir jemand helfen??
LG
rnaish
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Di 28.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin rnaish und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich bräuchte mal ein wenig Hilfe bzw. eine Anleitung zur
> Bestimmung des lokalen Minimalpolynoms mit den
> Einheitsvektoren [mm]e_1,e_2,e_3[/mm].
> Mal angenommen wir haben folgende Matrix:
> A = [mm]\begin{pmatrix}
8 & 4 & 12 \\
0 & 1 & 0 \\
-3 & 2 & -4
\end{pmatrix} [/mm]
>
> Das Charakteristische Polynom dieser Matrix ist [mm]\mu_{A} = (\lambda-2)^2(\lambda-1)[/mm].
>
> Wie gehe ich jetzt nun vor. Ich habe immer gedacht, dass
> ich so vorgehen müsste:
>
> [mm]e_1\underrightarrow{A}\quad [/mm][mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\underrightarrow{A^2}\quad [/mm][mm] \begin{pmatrix} 28 \\ 0 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\underrightarrow{A^3}\quad [/mm][mm] \begin{pmatrix} 80 \\ 0 \\ -36 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann muss man mit Hilfe dieser Vektoren die Null erzeugen
> und wenn nun diese Linearkombination das Minimalpolynom
> teilt ist es das lokale Minimalpolynom.
Es sollte weiterhin eine moeglichst "kurze" Linearkombination sein, also moeglichst wenige der Vektoren (von links an gesehen) verwenden. In diesem Fall kannst du die Null mit [mm] $e_1$, [/mm] $A [mm] e_1$ [/mm] und $A [mm] e_2$ [/mm] kombinieren: damit erhaelst du ein Polynom von Grad 2.
Da [mm] $e_1$ [/mm] und $A [mm] e_1$ [/mm] nicht reichen, um Null zu bekommen (ausser mit der trivialen Linearkombination), gibt es kein Polynom von Grad 1, weshalb das lokale Minimalpolynom Grad 2 haben muss.
> Nur habe ich jetzt
> das Problem, dass das bei der Matrix mit allen
> Einheitsvektoren funktioniert :D
Dann rechne es doch jeweils aus. Was kommt heraus?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo und lieben Dank für die Begrüßung und die Antwort =)
Also ich habe mich dran gemacht und es für jeden Einheitsvektor [mm] e_1,e_2,e_3 [/mm] gerechnet:
Für [mm] e_1 [/mm] ergibt sich:
[mm]
e_1 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 28 \\ 0 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
Dies kann man darstellen mit Hilfe von: [mm] 4*e_1-4*Ae_1+1*A^2e_1 [/mm] = [mm] (Ae_1-2)^2 [/mm] Dies kann dann nicht lokales Minimalpolynom sein, da es kein Teiler vom Minimalpolynom ist.
Weiter ergibt sich für [mm] e_2
[/mm]
[mm]
e_2 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 60 \\ 1 \\ -18 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^3}\ \begin{pmatrix} 268 \\ 1 \\ -106 \end{pmatrix}[/mm]
Dies kann man darstellen mit Hilfe von: [mm] -A^3e_2+5*A^2e_2-8*Ae_2+4*e_2= (Ae_2-2)^2*(Ae_2-1) [/mm] Dies könnte nun mögliches Minimalpolynom sein.
Weiter ergibt sich für [mm] e_3
[/mm]
[mm] e_3 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 48 \\ 0 \\ -20 \end{pmatrix} [/mm]
Dies kann man darstellen mit Hilfe von: [mm] 4*e_1-4*Ae_1+1*A^2e_1 [/mm] = [mm] (Ae_1-2)^2 [/mm] Dies kann dann nicht lokales Minimalpolynom sein, da es kein Teiler vom Minimalpolynom ist.
Aus dem allen folgt, dass mit [mm] e_2 [/mm] das lokale Minimalpolynom dargestellt werden kann.
Ich hoffe das stimmt nun endlich so =) Danke für deine Hilfe! Es ist mir nur unbegreiflich, wie ich dies alles in der Klausur schaffen soll. Ist ja ein Rechenaufwand ohne Ende^^
LG =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 30.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ich habe mich dran gemacht und es für jeden
> Einheitsvektor [mm]e_1,e_2,e_3[/mm] gerechnet:
>
> Für [mm]e_1[/mm] ergibt sich:
> [mm]
e_1 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 28 \\ 0 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
> Dies kann man darstellen mit Hilfe von:
> [mm]4*e_1-4*Ae_1+1*A^2e_1[/mm]
Soweit ist es in Ordnung.
> = [mm](Ae_1-2)^2[/mm]
Nein, so geht das nicht! Du multiplizierst hier zwei Vektoren. Du meinst eher $(A - [mm] 2)^2 e_1$. [/mm] Oder $(x - [mm] 2)^2(A) \cdot e_1$.
[/mm]
> Dies kann dann nicht
> lokales Minimalpolynom sein, da es kein Teiler vom
> Minimalpolynom ist.
Wieso, [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] 2)^2$ [/mm] ist doch ein Teiler vom charakteristischem Polynom [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] 2)^2 (\lambda [/mm] - 1)$? (Woraus folgt, dass das (globale) Minimalpolynom gleich dem charakteristischem Polynom ist.)
> Weiter ergibt sich für [mm]e_2[/mm]
> [mm]
e_2 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 60 \\ 1 \\ -18 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^3}\ \begin{pmatrix} 268 \\ 1 \\ -106 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dies kann man darstellen mit Hilfe von:
> [mm]-A^3e_2+5*A^2e_2-8*Ae_2+4*e_2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]= (Ae_2-2)^2*(Ae_2-1)[/mm] Dies
Wieder: $((x - [mm] 2)^2 [/mm] (x - 1))(A) [mm] \cdot e_2$ [/mm] oder $(A - [mm] 2)^2 [/mm] (A - 1) [mm] e_2$.
[/mm]
> könnte nun mögliches Minimalpolynom sein.
Es ist ebenso das lokale (bei [mm] $e_2$) [/mm] wie das globale Minimalpolynom (wie wir schon von [mm] $e_1$ [/mm] her wissen).
> Weiter ergibt sich für [mm]e_3[/mm]
> [mm]e_3 \ \underrightarrow{A} \ \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \ \underrightarrow{A^2}\ \begin{pmatrix} 48 \\ 0 \\ -20 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dies kann man darstellen mit Hilfe von:
> [mm]4*e_1-4*Ae_1+1*A^2e_1[/mm]
> = [mm](Ae_1-2)^2[/mm] Dies kann dann nicht
> lokales Minimalpolynom sein, da es kein Teiler vom
> Minimalpolynom ist.
Stimmt nicht, ist hier genauso wie bei [mm] $e_1$.
[/mm]
> Aus dem allen folgt, dass mit [mm]e_2[/mm] das lokale Minimalpolynom
> dargestellt werden kann.
Es gibt nicht das lokale Minimalpolynom einer Matrix. Ein lokales Minimalpolynom gehoert immer zu einer Matrix und einem Vektor, und wenn man die Matrix gleichbehaelt und verschiedene Vektoren probiert, kommen im allgemeinen verschiedene lokale Minimalpolynome heraus. Sie sind alle Teiler vom (globalen) Minimalpolynom (das nur von der Matrix abhaengt).
(Genauer gesagt: wenn [mm] $v_1, \dots, v_k$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] $k^n$ [/mm] ist und [mm] $m_i$ [/mm] das lokale Minimalpolynom von [mm] $v_i$ [/mm] und $A$ ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der [mm] $m_1, \dots, m_k$ [/mm] das globale Minimalpolynom von $A$.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Moin =)
Also kann ich nun draus schließen, dass das lokale Minimalpolynom zu den Einheitsvektoren [mm] \mu_{A,e_2} [/mm] ist.
Werde mal weiter selber noch rechnen & wenn ich noch Fragen habe werde ich die hier hin posten, wenn es okay ist?
Vielen Lieben Dank für deine Hilfe!!!
LG
rnaish
Habe doch noch eine Frage... Was passiert nun bei Nilpotenten Matrizen. Nehmen wir mal den Nilpotenzgrad 3. Dann ist ja das Charakteristische Polynom [mm]\chi_A = \lambda^3[/mm]. Nun kann ich ja das lokale Minimalpolynom mit allen Vektoren erzeugen... Habe das für ein Beispiel gerechnet, damit ich die RNF ausrechnen kann und alle geben die gleiche RNF raus...
LG und einen schönen Abend =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 01.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
