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| Aufgabe | Gegeben ist die Lokalisation von [mm] \IZ [/mm] nach p (p Primzahl) mit [mm] \IZ_{p}:=({\bruch{a}{b}}|a\in\IZ,b\in\IN,p [/mm] teilt nicht b).
1.) Man bestimme die Eineiten in Z{p}!
2.) Was sind die unzerlegbaren Elemente?
3.) Ist [mm] \IZ_{p} [/mm] ein ZPE-Ring?
4.) Ist [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Hauptidealring?
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Hallo,
also zunächst mal ist mir nicht klar, welche Bedeutung die Primzahl p hat! Sie taucht doch in der Definition von [mm] \IZ_{p} [/mm] nicht auf. Wenn ich beispielsweise p=2 wähle, heißt es einfach, dass dann b ungerade ist?
Zu 1.)
Ist mir klar. Das ist doch einfach [mm] \bruch{a}{a} [/mm] oder?
Zu 2.)
Ist damit einfach soetwas wie das Komplement zu den Einheiten gemeint? Dann ist das ja auch nicht so schwer!
Zu 3.) und 4.)
Es ist sicher sinnvoller hier mit 4.) anzufangen, da man dann den Rest folgern kann (Jeder HIR ist ZPE-Ring.). Nur ist hier auch jedes Ideal Hauptideal? Eigentlich scon oder? Ich kann doch jedes Ideal durch ein Element erzeugen mit z.B. (1/1).
Bitte um Hilfe!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo Daniel,
es ist ja [mm] \IZ_p [/mm] per def. gleich [mm] S^{-1}\IZ [/mm] mit [mm] S=\{b\in \IN, ggT(b,p)=1\}, [/mm] wobei allgemein
fuer einen kommutativen Ring A mit 1 und eine unter Multiplikation abgeschl. Teilmenge [mm] S\subseteq [/mm] A mit [mm] 1\in [/mm] S
[mm] S^{-1}A =\{(a,s)|a\in A,s\in S\}\slash \sim [/mm] ist mit
[mm] (a,s)\sim [/mm] (a',s') gdw [mm] \exists s_0\in [/mm] S mit [mm] s_0(as'-a's)=0
[/mm]
Allgemein heisst ein Element x eines Rings ''Einheit'', wenn es y im Ring gibt mit xy=1
(wobei vorausgesetzt ist, dass es sich um einen Ring mit Eins handelt).
Man muss also alle Aequivalenzklassen von Paaren (a,s) bestimmen, so dass
es (a',s') gibt mit [mm] (aa',ss')\sim [/mm] (1,1), d.h. so dass es [mm] s_0 \in [/mm] S gibt mit
[mm] s_0(aa'\cdot [/mm] 1 [mm] -ss'\cdot [/mm] 1)=0.
Das sollten einige mehr als nur (a,a) sein.
Gruss,
Mathias
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Hallo,
danke zunächst für die schnelle Antwort!
Aber noch eine Frage. In [mm] \IZ [/mm] sind die Einheiten +1 und -1. Das einzige, was mir noch einfallen würde, wäre -a/a.
Ansonsten verstehe ich das hier nicht so ganz:
> Man muss also alle Aequivalenzklassen von Paaren (a,s)
> bestimmen, so dass
> es (a',s') gibt mit [mm](aa',ss')\sim[/mm] (1,1), d.h. so dass es
> [mm]s_0 \in[/mm] S gibt mit
>
> [mm]s_0(aa'\cdot[/mm] 1 [mm]-ss'\cdot[/mm] 1)=0.
>
> Das sollten einige mehr als nur (a,a) sein.
>
> Gruss,
>
> Mathias
Bitte um Erklärung und vielleicht noch um eine grobe Beantwortung der anderen Fragen!
Vielen Dank und Grüße
Daniel
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Hallo nochmal,
na ja, zu den Einheiten: also wenn [mm] (a,b)\in\IZ_p [/mm] mit ggT(a,p)=1, so gilt doch
[mm] (b,a)\in \IZ_p [/mm] und weiterhin [mm] (a,b)\cdot [/mm] (b,a)= (ab,ab) = (1,1) (in [mm] \IZ_p, [/mm] d.h. formal
[mm] (ab,ab)\sim [/mm] (1,1) ).
Dies sollten auch schon alle Einheiten sein, also alle (Aequivalenzklassen von) Paare(n)
(a,b) mit ggt(a,p) = ggt(b,p)=1 und [mm] b\in \IN [/mm] und [mm] a\in \IZ.
[/mm]
Die Sache mit den Idealen muesste ich mir als Nicht-Algebraiker auch erst
ueberlegen, aber wie waere es mit dem Versuch, das von zwei Elementen
(1,b) und (1,b') mit ggt(b,b')=1 (und per definitionem ggt(b,p)=ggt(b',p)=1)
erzeugte Ideal zu betrachten. Koennte das nicht ein
Gegenbeispiel zu ''Hauptidealring'' sein ?
Gruss,
Mathias
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Macht es nicht so kompliziert.
Dieses [mm]\mathbb{Z}_{(p)}[/mm] ist ja kein Unterring von [mm]\mathbb{Z}[/mm], sondern ein Unterring von dessen Quotientenkörper [mm]\mathbb{Q}[/mm]. Und in einem Körper ist jedes von 0 verschiedene Element eine Einheit. Das multiplikative Inverse eines Bruches ist aber einfach der Kehrbruch. Bei der Frage nach den Einheiten von [mm]\mathbb{Z}_{(p)}[/mm] kommt es jetzt also auf Folgendes an: Welches sind die rationalen Zahlen, so daß sowohl die Zahl selbst als auch ihr Kehrbruch in [mm]\mathbb{Z}_{(p)}[/mm] liegen? Dann hast du die Einheiten deines Ringes schon bestimmt.
Und wenn du die Einheiten kennst, dann sind die restlichen Elemente die Nichteinheiten, für die du also die Zerlegbarkeit untersuchen mußt, wobei es dabei auf Einheiten nicht ankommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Di 03.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Einspruch Euer Ehren !
Die Argumentation ueber den Oberkoerper [mm] \IQ [/mm] halte ich so direkt fuer nicht ausreichend, denn die Eigenschaft, Einheit zu sein, kann mit der algebraischen Struktur, d.h. dem Ring,
ueber den man spricht, variieren.
Der zweite Teil Deiner Bemerkung stimmt: (a,b) [mm] \in \IZ_p [/mm] ist Einheit gdw
(b,a) ebenfalls in [mm] \IZ_p [/mm] existiert, das hatte ich auch schon geschrieben.
Gruss,
Mathias
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Hallo,
> Einspruch Euer Ehren !
>
> Die Argumentation ueber den Oberkoerper [mm]\IQ[/mm] halte ich so
> direkt fuer nicht ausreichend, denn die Eigenschaft,
> Einheit zu sein, kann mit der algebraischen Struktur, d.h.
> dem Ring,
> ueber den man spricht, variieren.
Ja, das fand ich auch ziemlich merkwürdig.
Ich habe das aber jetzt verstanden.
Vielen Dank euch beiden!
Daniel
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Den Einwand verstehe ich nicht. Wenn doch [mm]\mathbb{Z}_{(2)}[/mm] ein Unterring von [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist, dann muß doch das multiplikative Inverse eines Elementes von [mm]\mathbb{Z}_{(2)}[/mm] auch das multiplikative Inverse in [mm]\mathbb{Q}[/mm] sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 03.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Entschuldigt, wenn ich mich hier einmische, aber aus meiner Sicht redet ihr nur aneinander vorbei und meint beide genau das Gleiche.  Leopold hat schon Recht mit seiner Argumentation, aber Mathias macht ja auch nichts anderes in seinem einen Beitrag als das, was Leopold sagt:
Man weiß ja, wie die Inversen in [mm] $\IQ$ [/mm] aussehen und schaut sich an, welche davon in [mm] $\IZ_p$ [/mm] liegen...
Insofern: Gegessen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 03.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Gegeben ist die Lokalisation von [mm]\IZ[/mm] nach p (p Primzahl)
> mit [mm]\IZ_{p}:=({\bruch{a}{b}}|a\in\IZ,b\in\IN,p[/mm] teilt nicht
> b).
>
> 1.) Man bestimme die Eineiten in Z{p}!
> 2.) Was sind die unzerlegbaren Elemente?
> 3.) Ist [mm]\IZ_{p}[/mm] ein ZPE-Ring?
> 4.) Ist [mm]\IZ_{p}[/mm] ein Hauptidealring?
>
> Hallo,
>
> also zunächst mal ist mir nicht klar, welche Bedeutung die
> Primzahl p hat! Sie taucht doch in der Definition von
> [mm]\IZ_{p}[/mm] nicht auf. Wenn ich beispielsweise p=2 wähle, heißt
> es einfach, dass dann b ungerade ist?
>
> Zu 1.)
> Ist mir klar. Das ist doch einfach [mm]\bruch{a}{a}[/mm] oder?
Das ist ja mittlerweile geklaert.
> Zu 2.)
> Ist damit einfach soetwas wie das Komplement zu den
> Einheiten gemeint? Dann ist das ja auch nicht so schwer!
Das Komplement sind die Nichteinheiten. Die unzerlegbaren Elemente sind eine Teilmenge der Nichteinheiten, aber im allgemeinen nicht _alle_ Nichteinheiten.
Jetzt nimm dir mal eine Nichteinheit $a/b [mm] \in \IZ_{p}$. [/mm] (Dann ist ja $p$ ein Teiler von $a$.) Wann kannst du jetzt $a/b$ als Produkt von zwei Elementen aus [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] schreiben, welche beide keine Einheit sind?
> Zu 3.) und 4.)
> Es ist sicher sinnvoller hier mit 4.) anzufangen, da man
> dann den Rest folgern kann (Jeder HIR ist ZPE-Ring.). Nur
> ist hier auch jedes Ideal Hauptideal? Eigentlich scon oder?
> Ich kann doch jedes Ideal durch ein Element erzeugen mit
> z.B. (1/1).
Wenn [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ein Ideal in [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] ist, so betrachte [mm] $\mathfrak{b} [/mm] := [mm] \mathfrak{a} \cap \IZ$; [/mm] dies ist dann ein Ideal in [mm] $\IZ$ [/mm] und somit ein Hauptideal, also [mm] $\mathfrak{b} [/mm] = x [mm] \IZ$ [/mm] fuer ein $x [mm] \in \IZ$. [/mm] Wenn du jetzt z.B. zeigen kannst, dass $x [mm] \IZ_{p} [/mm] = [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] ist, so bist du fertig.
LG Felix
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Hallo,
also mir ist jetzt nicht so ganz klar, was richtig ist. Kann ich nun zeigen, dass das ein HIR ist, also jedes Ideal Hauptideal ist, oder gilt Mathias' Gegenbeispiel? Dieses klingt für mich nämlich plausibel!
Bitte um Antwort!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo zusammen,
schauen wir uns das von (1,b), (1,b') mit ggt(b,b')=1 erzeugte Ideal mal an und nennen wir es A.
Dann ist A= [mm] \IZ_p \cdot (1,b\cdot [/mm] b') , oder ?
Ich versuch mal, den Loesungsweg von felixf zu beschreiten:
Allgemein sei A Ideal in [mm] \IZ_p [/mm] und [mm] B=A\cap \IZ [/mm] = [mm] x\cdot \IZ.
[/mm]
Sicher gilt wg. Idealeigenschaft [mm] x\cdot \IZ_p \subseteq [/mm] A.
Sei [mm] (a,b)\in [/mm] A, dann ist [mm] (a,1)\in A\cap \IZ, [/mm] also (a,1) = [mm] x\cdot [/mm] (y,1)= (xy,1) fuer ein [mm] y\in \IZ,
[/mm]
und Multiplikation mit (1,b) zeigt auch [mm] A\subseteq x\cdot \IZ_p.
[/mm]
Scheint zu klappen.
Gruesse an alle,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Di 03.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi!
> Hallo zusammen,
>
> schauen wir uns das von (1,b), (1,b') mit ggt(b,b')=1
> erzeugte Ideal mal an und nennen wir es A.
>
> Dann ist A= [mm]\IZ_p \cdot (1,b\cdot[/mm] b') , oder ?
>
> Ich versuch mal, den Loesungsweg von felixf zu
> beschreiten:
> [...]
> Scheint zu klappen.
Kein Wunder, nach dem Thread hier muss es das ja auch. 
Oder alternativ kann man auch einen Satz aus der kommutativen Algebra bemuehen, der Auskunft ueber die Ideale in einer Lokalisierung gibt; daraus folgt das auch sofort.
LG Felix
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