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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Sa 04.04.2015 | | Autor: | nbt |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
ich hab eine Frage zur Motivation vom Ito Integral der Form
$\int_0^T f(B_t)dB_t$
wobei $f$ stetig und $B_t:\Omega\to\mathbb{R}$ eine standard Brownsche Bewegung seien.
Bislang kenn ich als Definitionsbereich des Ito Integrals $I:L^2(dP\times dt)\to L^2(dP)$ nur messbare, adaptierte Funktionen
$\mathcal{H}^2:=\{f:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}}|\ f\in\mathcal{F}_T\times\mathcal{B}([0,T]), \forall t\in[0,T]: f_t\in\mathcal{F}_t, f\in L^2(dP\times dt)\}$
wobei $(\mathcal{F}_t)_t$ die Brownsche Filtration bezeichnet.
Damit wir also das Ito Integral von $f(B_t)$ existiert, muss gelten
$E\left[\int_0^T f^2(\omega,t)dt\right]<\infty$ $(1)$
Jetzt schreibt der Autor des Buches, das ich zum Thema lese (Stochastic Calculus and Financial Applications von J.M. Steele), dass die Bedingung $(1)$ zB für die Funktion $f(\omega,t)=\exp(B_t^2(\omega))$ verletzt ist.
Warum ist das so?
Vielen Dank für die Hilfe
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Hiho,
> Jetzt schreibt der Autor des Buches, das ich zum Thema lese (Stochastic Calculus and Financial Applications von J.M. Steele),
meiner Meinung nach ein sehr gutes Buch zu dem Thema. Insbesonderen die kleinen netten Anekdoten von ihm 
> dass die Bedingung [mm](1)[/mm] zB für die Funktion
> [mm]f(\omega,t)=\exp(B_t^2(\omega))[/mm] verletzt ist.
>
> Warum ist das so?
Auf welcher Seite?
edit: Hab es gefunden, allerdings schreibt er bei mir $f(x) = [mm] \exp(x^4)$.
[/mm]
Aber auch damit sollte es funktionieren...
Ich glaube, das schreibt er nicht. Das stimmt nämlich nicht....
Aber berechne es doch mal!
edit2: Ah mir fällt da was ein. Ich glaube der Steele lässt auch [mm] $T=\infty$ [/mm] zu und dann geht es natürlich kaputt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Sa 04.04.2015 | | Autor: | nbt |
Ah ok, ja mit [mm] $T\to\infty$ [/mm] leuchtet es ein, danke!
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