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| Aufgabe | | Was ist die Lokalisierung des Ringes R = [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ [/mm] bezüglich der multiplikativen Teilmenge S = {1,2,4}? Tipp: Betrachte [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \times \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ. [/mm] |
Tja, die Theorie hab ich soweit verstanden, aber so ganz genau weiß ich trotzdem nicht, was ich hier machen soll... Reicht es, einfach alle Elemente aus [mm] S^{-1}R [/mm] aufzuschreiben? Ich hab mal angefangen:
[mm] \bruch{(0,0)}{1}, \bruch{(0,0)}{2}, \bruch{(0,0)}{4}, \bruch{(0,1)}{1}, \bruch{(0,1)}{2}, [/mm] ...usw, also kurz gefasst: (0,0), (0,1), [mm] (0,\bruch{1}{2}), [/mm] ...usw
Aber ist das überhaupt richtig? Das scheint mir irgendwie viel zu banal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Was ist die Lokalisierung des Ringes R = [mm]\IZ[/mm] / [mm]6\IZ[/mm]
> bezüglich der multiplikativen Teilmenge S = {1,2,4}? Tipp:
> Betrachte [mm]\IZ[/mm] / [mm]2\IZ \times \IZ[/mm] / [mm]3\IZ.[/mm]
> Tja, die Theorie hab ich soweit verstanden, aber so ganz
> genau weiß ich trotzdem nicht, was ich hier machen soll...
> Reicht es, einfach alle Elemente aus [mm]S^{-1}R[/mm]
> aufzuschreiben? Ich hab mal angefangen:
> [mm]\bruch{(0,0)}{1}, \bruch{(0,0)}{2}, \bruch{(0,0)}{4}, \bruch{(0,1)}{1}, \bruch{(0,1)}{2},[/mm]
> ...usw, also kurz gefasst: (0,0), (0,1), [mm](0,\bruch{1}{2}),[/mm]
> ...usw
> Aber ist das überhaupt richtig? Das scheint mir irgendwie
> viel zu banal...
Das ist richtig. Allerdings listest du viele Elemente mehrfach auf. Du musst dir schon ueberlegen welche identifiziert werden (etwa ist [mm] $\frac{0}{1} [/mm] = [mm] \frac{0}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{3}{2} [/mm] = [mm] \frac{0}{1}$).
[/mm]
Schreib die Nennermenge mal auch als Elemente von [mm] $\IZ/2 \times \IZ/3$ [/mm] auf und ueberleg dir, was da so alles identifiziert wird. Achte insbesondere auf Nullteiler.
Hinweis: Da der Ring auf jeden Fall kleiner wird, bleibt nur [mm] $\IZ/2$, $\IZ/3$ [/mm] oder der Nullring ueber. Welches der drei in Frage kommt musst du selber herausfinden. Und wenn du dich fuer eins entschieden hast, versuch doch mal nen Isomorphismus zu konstruieren.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Leider weiß ich immer noch nicht weiter: dass [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{2} [/mm] ist, sehe ich auch. Aber wieso ist [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1}? [/mm]
Und wie meinst du das: wie soll ich die Elemente aus S als Elemente aus [mm] \IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ [/mm] schreiben? 1=(0,1), 2=(0,2), 4=(1,0)???
Tut mir wirklich leid, ich habe zur Zeit echt ein Brett vorm Kopf!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> Leider weiß ich immer noch nicht weiter: dass [mm]\bruch{0}{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{2}[/mm] ist, sehe ich auch. Aber wieso ist
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = [mm]\bruch{0}{1}?[/mm]
Schreib doch mal auf, was das bedeutet. Und setz alle Moeglichkeiten aus $S$ ein die du so hast.
> Und wie meinst du das: wie soll ich die Elemente aus S als
> Elemente aus [mm]\IZ/2\IZ\times\IZ/3\IZ[/mm] schreiben? 1=(0,1),
> 2=(0,2), 4=(1,0)???
Das stimmt nicht. Es ist $1 = (1, 1)$, $2 = (0, 2)$, $3 = (0, 1)$. (Wenn du nicht weisst warum schau dir den Chinesischen Restsatz an!)
Wenn du die Nennermenge jetzt in dieser Form hast, nimm dir ein beliebiges Element [mm] $\frac{u}{v} \in S^{-1} [/mm] R$. Wann ist [mm] $\frac{u}{v} [/mm] = [mm] \frac{0}{1}$? [/mm] Und wann ist [mm] $\frac{u}{v} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] fuer ein [mm] $\frac{p}{q} \in S^{-1} [/mm] R$?
Uebrigens, um dein Ergebnis dann zu beweisen, kannst du so vorgehen: Die Lokalisierungsabbildung $R [mm] \to S^{-1} [/mm] R$, $x [mm] \mapsto \frac{x}{1}$ [/mm] ist hier surjektiv. Wenn du das zeigst und den Kern bestimmst, kannst du mit dem Homomorphiesatz [mm] $S^{-1} [/mm] R$ bestimmen.
LG Felix
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