Lorentz-Transformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo nochmal zusammen.
Ich häng leider immer noch an (einer meiner letzten Übungsaufgaben) dran, und bräuchte nochmal was Hilfe.
Ein freundliches Mitglied des Matheraums hatte mir schonmal hier die Lösung zu gepostet, aber jetzt, beim selber Nachrechnen hatte ich dann doch schon noch Verständnissprobleme.
Also ich poste nochmal die Aufgabe: Sei V der Minkoski-Raum mit einer Raum- und einer Zeitdimension, das heißt:
V ist ein zweidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis {x,t}, so daß
<x,x> = 1, <x,t> = 0, <t,t> = -1.
Beschreibe explizit die Lorentz-Gruppe von V, d.h die Menge aller 2x2-Matrizen A mit <v,w>=<Av,Aw> für alle v,w aus V.
So, ich stelle nu die Darstellugnsmatrix bzgl. der Bilinearform auf. Sie lautet dann:
[mm] \cal{P}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }. [/mm] Warum muß ich das machen? Ich hab da ne'n Verständnissproblem wo der Zusammenhang zwischen Bilinearformen, und Minkowskiräumen liegt. Als Lösungsmatrix sol die Matrix [mm] \pmat{ cosh & sinh \\ sinh & cosh } [/mm] rauskommen. Dachte erst, es wäre mir klar, weil in einem meiner Bücher dort mit Hilfe von Additionstheoremen drauf geschlossen wurde, aber beim Nachrechnen, kam ich nicht auf die obere Matrix.Könnte mir da wer nochmal bei Helfen.
Viele Grüße Benno
|
|
| |
|
hi!
also ich versuch dir mal zu helfen, aber eher aus der sicht eines physikers als eines mathematikers.
die bilinearform ist ein postulat. man postuliert, dass unter der gesuchten lorentztrafo, das infinitesimale raum-zeit-wegelement [mm] ds^2 [/mm] invariant bleibt, mit [mm] ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 [/mm] (in deinem fall nur dt und dx). dies kann man sich so klarmachen: eine räumliche bewegung geht auf kosten der zeitlichen, deshalb die minuszeichen. stelle ich die bilinearform [mm] s:\IR^4 [/mm] x [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] bezüglich kanonischer basis von [mm] \IR^4 [/mm] dar so bekomme ich [mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm] und ich kann schreiben [mm] ds^2=da^T*S*da [/mm] (die * sind das skalarprodukt <> in der physik) mit [mm] da=\vektor{ cdt \\ dx \\ dy \\ dz } [/mm] oder [mm] ds^2=s(da,da) [/mm] wenn ich da auch als vektor auffasse.
zur invarianz: wir suchen also eine lineare abbildung (bzw. eine matrix) A, sodass [mm] (A*da)^T*S*A*da=da^T*S*da. [/mm] Das ergibt die bedingung: [mm] A^T*S*A=S. [/mm] in deinem fall sei A die 2x2 matrix [mm] A_{ij}, [/mm] dann folgen daraus die bedingungen:
(1) [mm] A_{11}^2-A_{21}^2=1
[/mm]
(2) [mm] -A_{22}^2+A_{12}^2=-1
[/mm]
(3) [mm] A_{11}A_{12}-A_{21}A_{22}=0
[/mm]
wegen der surjektivität von sinh können wir [mm] A_{21}=sinh\psi [/mm] und [mm] A_{12}=sinh\phi [/mm] setzen. aus (1) und (2) folgt dann [mm] A_{11}=\pm cosh\psi [/mm] und [mm] A_{22}=\pm cosh\phi. [/mm] dann aus (3) folgt [mm] \psi=\phi [/mm] und [mm] A_{11}=A_{22}. [/mm] wenn wir die ident. trafo erlaben wollen, muss dann auch [mm] A_{11}=+cosh\psi [/mm] gelten und wir bekommen deine matrix.
soviel wie der physiker das behandelt. vielleicht gibts noch jemanden der das mathematisch hinkriegt?
p.s.: zum problem "mathematisch (1) oder physikalisch (2) behandeln". ich glaub man muss ein richtiges gleichgewicht finden zwischen (1) umd (2), d.h. zwischen sauber/mächtig und effektiv/suggestiv(abstraktheit verschleiert den blick für die realität). das nur so nebenbei für die fortgeschrittenen semester ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mi 21.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo calabi-yau.
Erstmal Danke für deine Antwort. Da ich nur sehr wenig Ahnung von Physik habe, konnte ich das nicht so 100 prozentig nachvollziehen. Naja, aber könntest du mir nochmal erklären, wie du auf folgende Gleichungen kommst:(1) $ [mm] A_{11}^2-A_{21}^2=1 [/mm] $
(2) $ [mm] -A_{22}^2+A_{12}^2=-1 [/mm] $
(3) $ [mm] A_{11}A_{12}-A_{21}A_{22}=0 [/mm] $
Sind diese Gleichungen für eine Hyperbolische Ebene so deffiniert? Die Gleichungen hab ich auch so in einem Buch stehen, aber da wird nix drüber gesagt. Und wie kommst du auf:$ [mm] A_{21}=sinh\psi [/mm] $ und $ [mm] A_{12}=sinh\phi [/mm] $ setzen. aus (1) und (2) folgt dann $ [mm] A_{11}=\pm cosh\psi [/mm] $ und $ [mm] A_{22}=\pm cosh\phi. [/mm] $ dann aus (3) folgt $ [mm] \psi=\phi [/mm] $ und $ [mm] A_{11}=A_{22}. [/mm] $ ? Das hab ich jetzt mal überhaupt gar nicht verstanden. sorry. Wäre nett wenn du mir das nochmal erklären könntest.
Viele Grüße Benno
|
|
|
| |
|
(1), (2), (3) bekommst du aus der Bedingung [mm] A^T*S*A=S
[/mm]
[mm] A_{12} [/mm] und [mm] A_{21} [/mm] definierst du dir einfach so, das ist möglich da sinh surjektiv ist, du also für einen beliebigen wert für [mm] A_{12} [/mm] bzw. [mm] A_{21} [/mm] ein [mm] \psi [/mm] und ein [mm] \phi [/mm] finden kannst. [mm] A_{11} [/mm] und [mm] A_{22} [/mm] folgen aus (1) und (2) da gilt [mm] (cosh\psi)^2-(sinh\psi)^2=1. [/mm] und die letzte gleichung (3) ist dann auch erfüllt, wenn [mm] A_{11} [/mm] und [mm] A_{22} [/mm] das gleiche vorzeichen haben und [mm] \phi=\psi
[/mm]
wie gesagt ist das kein mathematischer beweis mit allem drum und dran, aber dem physiker reicht das (und mir in diesem fall auch ;) )
ich lass mal deine frage noch auf unbeantwortet, denn du scheinst doch eher auf einen formal sauberen beweis erpicht zu sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Do 22.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo calabi-yau.
Erstnochmal vielen Dank für deine ausfühlichen Erklärungen.
Ich denke ich habs jetzt so verstanden.
Ich fass nochmal kurz zusammen, um sicher zu gehen.
Man fordere einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt, welches symmetrisch, bilinear, und indefinit ist. Eine Lorentz-Transformation ist eine Isomtrie dieses Raumes, welche unter ihrer Abbildung invarant bleibt, richtig? Deshalb muß bei meiner Aufgabe die Matrix S auch wieder herrauskommen, wenn ich sie unter A abbilde, gel?! (also A^TSA=S gilt) Wie du auf die 3 Gleichungen, und zum Schluss auf die gesuchte Matrix kommst, ist mir nu klar. Danke nochmal.
Was mir allerdigns noch nicht so ganz einleuchtet ist, warum man genau cosh bzw. sinh verwenden muss. Okay, sie erfüllen die Gleichungen, das sehe ich, aber warum genau diese Funktionen? Ich kanns aber notfalls so hinnehmen.
Vielen Danke nochmal für deine Bemühungen.
Viele Grüße Benno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 22.09.2005 | | Autor: | calabi-yau |
> Hallo calabi-yau.
> Erstnochmal vielen Dank für deine ausfühlichen
> Erklärungen.
> Ich denke ich habs jetzt so verstanden.
> Ich fass nochmal kurz zusammen, um sicher zu gehen.
> Man fordere einen Vektorraum mit einem Skalarprodukt,
> welches symmetrisch, bilinear, und indefinit ist. Eine
> Lorentz-Transformation ist eine Isomtrie dieses Raumes,
> welche unter ihrer Abbildung invarant bleibt, richtig?
> Deshalb muß bei meiner Aufgabe die Matrix S auch wieder
> herrauskommen, wenn ich sie unter A abbilde, gel?! (also
> A^TSA=S gilt)
ja das kann man so stehenlassen
> Was mir allerdigns noch nicht so ganz einleuchtet ist,
> warum man genau cosh bzw. sinh verwenden muss. Okay, sie
> erfüllen die Gleichungen, das sehe ich, aber warum genau
> diese Funktionen? Ich kanns aber notfalls so hinnehmen.
gegenfrage: kannst du mir eine andere analytische funktion anbieten, mit der ich die allgemeine homogene LT darstellen kann? wenn du das halt mit den hyperbolischen funktionen machst, bekommst du ne schöne lösung, was will man mehr?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Do 22.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Benno!
Ich möchte jetzt doch mal wissen, was dir an dieser ausführlichen Erklärung noch unklar ist. Könntest du bitte mal ganz genau sagen, welche Stelle du nicht verstehst?
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 22.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Julius.
Also ich glaub mir waren die Schritte, die Stefan gemacht hatte, zu diesem Zeitpunkt noch zu "groß". Beispielsweise wußte ich nicht, das man wegen der Surjektivität von sinh, $ [mm] A_{21}=sinh\psi [/mm] $ und $ [mm] A_{12}=sinh\phi [/mm] $ setzen kann. Da wäre ich selber so nicht drauf gekommen. Mit dieser Info konnte ich das naürlich jetzt nachvollziehen, aber wie gesagt, der Schritt von diesen 3 Gleichungen zu der "End-Matrix" war mir was zugroß. (als Beispiel jetzt) Und du mußt doch auch zugeben, das man auf die Sache mit der Surjektivität mal nicht eben so kommt, oder?!
Bin natürlich trotzdem für seien Hilfe dankbar gewesen.
Lieben Gruß Benno
|
|
|
|
