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| Aufgabe | Jeder der sechs Buchstaben des Wortes ABITUR ist auf genau einen von sechs gleichartigen Tischtennisbällen geschrieben, die in einer Lostrommel liegen. Vor jeder Ziehung aus der Trommel wird gut gemischt. Der auf dem jeweiligen gezogenen Tischtennisball befindliche Buchstabe wird notiert, so dass mehrere Ziehungen dann Wörter ergeben.
Betrachtet werden zunächst das dreimalige Ziehen aus dieser Lostrommel und die folgenden daraus resultierenden Ereignisse:
Ereignis E1: Das Wort ABI entsteht, d.h., die Buchstaben A, B und I werden in dieser Reihenfolge gezogen.
Ereignis E2: Das entstandene Wort besteht aus drei gleichen Buchstaben.
a) Der gezogene Ball werde nach jeder Ziehung in die Lostrommel zurückgelegt. Ermitteln Sie für die Ereignisse E1 und E2 jeweils die Wahrscheinlichkeit.
b) Der gezogene Ball werde nicht in die Lostrommel zurückgelegt. Ermitteln Sie für die Ereignisse E1 und E2 jeweils die Wahrscheinlichkeit.
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Hallo Zusammen!
Beim korrigieren bitte darauf achten, das ich was Stochastik angeht ein "unbeschriebenes Blatt" bin, also mich gerade in die Thematik einarbeite. Danke.
Mein Lösungsweg:
Jeder Buchstabe kommt einmal vor, deshalb besteht die Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{6} [/mm] einen der Buchstaben zu ziehen.
a)
[mm] E_1=(ABI)= \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{216}=0,0046 [/mm] für das Wort ABI
[mm] E_2=(AAA;BBB;III;TTT;UUU;RRR)=6*(\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6})=\bruch{1}{36}= [/mm] 0,028
b)
[mm] E_1= \bruch{1}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{4}= \bruch{1}{120}= [/mm] 0,0083
[mm] E_2= \bruch{1}{6}*0*0=0 [/mm] , da die Buchstaben nur 1x vorhanden sind, kann ich keine drei gleichen mehr ziehen.
Stimmt das alles?
Danke + LG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Jeder der sechs Buchstaben des Wortes „ABITUR“ ist auf
> genau einen von sechs gleichartigen Tischtennisbällen
> geschrieben, die in einer Lostrommel liegen. Vor jeder
> Ziehung aus der Trommel wird gut gemischt. Der auf dem
> jeweiligen gezogenen Tischtennisball befindliche Buchstabe
> wird notiert, so dass mehrere Ziehungen dann „Wörter“
> ergeben.
> Betrachtet werden zunächst das dreimalige Ziehen aus
> dieser Lostrommel und die folgenden daraus resultierenden
> Ereignisse:
> Ereignis E1: Das Wort „ABI“ entsteht, d.h., die Buchstaben
> A, B und I werden in dieser Reihenfolge gezogen.
> Ereignis E2: Das entstandene „Wort“ besteht aus drei
> gleichen Buchstaben.
>
> a) Der gezogene Ball werde nach jeder Ziehung in die
> Lostrommel zurückgelegt. Ermitteln Sie für die Ereignisse
> E1 und E2 jeweils die Wahrscheinlichkeit.
>
> b) Der gezogene Ball werde nicht in die Lostrommel
> zurückgelegt. Ermitteln Sie für die Ereignisse E1 und E2
> jeweils die Wahrscheinlichkeit.
>
> Hallo Zusammen!
>
> Beim korrigieren bitte darauf achten, das ich was
> Stochastik angeht ein "unbeschriebenes Blatt" bin, also
> mich gerade in die Thematik einarbeite. Danke.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> Jeder Buchstabe kommt einmal vor, deshalb besteht die
> Wahrscheinlichkeit von [mm]\bruch{1}{6}[/mm] einen der Buchstaben zu
> ziehen.
>
> a)
> [mm]E_1=(ABI)= \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{216}=0,0046[/mm]
> für das Wort ABI
>
> [mm]E_2=(AAA;BBB;III;TTT;UUU;RRR)=6*(\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6})=\bruch{1}{36}=[/mm]
> 0,028
>
> b)
> [mm]E_1= \bruch{1}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{4}= \bruch{1}{120}=[/mm]
> 0,0083
>
> [mm]E_2= \bruch{1}{6}*0*0=0[/mm] , da die Buchstaben nur 1x
> vorhanden sind, kann ich keine drei gleichen mehr ziehen.
>
> Stimmt das alles?
>
> Danke + LG Markus
Perfekt!
Viele Grüße
Abakus
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| Aufgabe | Zweiter Teil der obigen Aufgabe. (6 Bälle in einer Lostrommel mit den Buchstaben A,B,I,T,U und R)
Im Folgenden wird der Zufallsversuch 18faches Ziehen aus der beschriebenen Lostrommel mit Zurücklegen betrachtet.
c)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens so viele Bälle mit dem Buchstaben A gezogen werden, wie zu erwarten sind.
d)
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Wort entsteht, welches mit 4 Buchstaben A beginnt und an dessen restlichen 14 Stellen je ein von A verschiedener Buchstabe steht.
Erläutern Sie, wie Sie diese Wahrscheinlichkeit nutzen können, um die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses E3 zu ermitteln.
Ereignis E3: Das entstandene Wort enthält genau viermal den Buchstaben A.
e)
Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein entstandenes Wort höchstens 17-mal den Buchstaben A enthält, zeigt ein Taschenrechner den Wert 1 an. Katharina schlussfolgert daraus, dass das Ereignis das sichere Ereignis dieses Zufallsversuches sei.
Werten Sie die Schlussfolgerung Katharinas.
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Vielen Dank Abakus für Deine Korrektur!
Puh, der erste Teil passt, bin gespannt ob die anderen auch passen....und ob ich den Rest der Aufgaben richtig verstanden habe
c)
Da habe ich ja die Möglichkeit 18x zu ziehen und zurückzulegen. Habe da die Formel für den Erwartungswert genommen, bin mir aber nicht ganz sicher.
X...Anzahl der Ziehungen; n=18 und p=0,17 (von 1/6)
E(X)=n*p=18*0,17=3,16 (also 3 mal der Buchstabe A)
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal A= [mm] 3*(\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6})=\bruch{1}{72}=0,0139
[/mm]
Bei d) dachte ich an die Bernoullikette, bin mir aber nicht sicher ob -und falls ja- wie das genau geht. Hat jemand eine Idee?
an e) arbeite ich gerade....mal schaun wie weit ich selber komme 
Danke schonmal + LG Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Zweiter Teil der obigen Aufgabe. (6 Bälle in einer
> Lostrommel mit den Buchstaben A,B,I,T,U und R)
> Im Folgenden wird der Zufallsversuch „18faches Ziehen aus
> der beschriebenen Lostrommel mit Zurücklegen“ betrachtet.
>
> c)
> Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens
> so viele Bälle mit dem Buchstaben A gezogen werden, wie zu
> erwarten sind.
>
> d)
> Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Wort
> entsteht, welches mit 4 Buchstaben A beginnt und an dessen
> restlichen 14 Stellen je ein von A verschiedener Buchstabe
> steht.
>
> Erläutern Sie, wie Sie diese Wahrscheinlichkeit nutzen
> können, um die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses
> E3 zu ermitteln.
> Ereignis E3: Das entstandene Wort enthält genau viermal
> den Buchstaben A.
>
> e)
> Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein entstandenes „Wort“
> höchstens 17-mal den Buchstaben A enthält, zeigt ein
> Taschenrechner den Wert 1 an. Katharina schlussfolgert
> daraus, dass das Ereignis das sichere Ereignis dieses
> Zufallsversuches sei.
> Werten Sie die Schlussfolgerung Katharinas.
>
> Vielen Dank Abakus für Deine Korrektur!
>
> Puh, der erste Teil passt, bin gespannt ob die anderen auch
> passen....und ob ich den Rest der Aufgaben richtig
> verstanden habe
>
> c)
> Da habe ich ja die Möglichkeit 18x zu ziehen und
> zurückzulegen. Habe da die Formel für den Erwartungswert
> genommen, bin mir aber nicht ganz sicher.
>
> X...Anzahl der Ziehungen; n=18 und p=0,17 (von 1/6)
Mach doch nicht so'n Scheiß ('Tschuldigung), wenn du die richtige Wahrscheinlichkeit (1/6) hast! Ein Sechstel ist ein Sechstel und nicht 0,17.
(Stell dir vor, n wäre nicht 18, sondern z.B. 3 000 000. Dann würdest du statt 500000 plötzlich 510000 erhalten (also "schlappe" 10000 Abweichung).
>
> E(X)=n*p=18*0,17=3,16 (also 3 mal der Buchstabe A)
>
> Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal A=
> [mm]3*(\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6})=\bruch{1}{72}=0,0139[/mm]
>
> Bei d) dachte ich an die Bernoullikette, bin mir aber nicht
> sicher ob -und falls ja- wie das genau geht. Hat jemand
> eine Idee?
> an e) arbeite ich gerade....mal schaun wie weit ich selber
> komme
>
> Danke schonmal + LG Markus
>
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Hi Abakus!
OK...ist entschuldigt, seh gerade dann hätte ich nicht mal abrunden müssen, da 18*1/6=3.
Aber ist der Rechenweg/Ergebniss überhaupt richtig?
Und bei d) kann ich da mit der Bernoullikette arbeiten....Falls ja, wie geht den das (Ansatz reicht mir, ich hab die schon ein paarmal angewendet, nur beim Aufstellen noch Probleme.
LG Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 31.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
d)
Du könntest dir ja ein Baumdiagramm zeichnen, dann siehst du, welche Wahrscheinlichkeiten du multiplizieren musst, damit genau die ersten 4 Zeichen as sind und der Rest was anderes außer a.
Dann hast du die Wahrscheinlichkeit genau für diesen Fall, dann musst du noch raus finden, auf wie viele verschiedene Methoden man die 18 Zeichen noch anordnen kann und das mit der Wahrscheinlichkeit, die du zuvor gefunden hast, multiplizieren.
e)
Probier erstmal selber :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Fr 28.03.2008 | | Autor: | dieda |
Hallo,
ich würde behaupten, dass deine Lösung vom c)-Teil nicht ganz richtig ist.
In der Aufgabe steht: "dass mindestens so viele Bälle...." Also mindestens 3 A's dabei sind. folglich gehen auch die ereignisse: 4 A's, 5 A's usw.!
Die Wahrscheinlichkeit bei 18 mal Ziehen 3 A's zu erhalten, berechnet sich wie folgt:
[mm] (\bruch{1}{6})^3 *(\bruch{5}{6})^{15}*(wie [/mm] viele mögliche Kombinationen es gibt)= 0,0003* [mm] \vektor{n+k-1\\k}= [/mm] 0,0003* [mm] \vektor{18+3-1\\3} [/mm] = 0,3426
Da man sich jetzt allerdings nicht den Aufwand macht und das für 3,4,5,6 usw A's ausrechnet, nimmt man einfach das Gegenereignis.
Also 1- die Ereignisse für 0 A's, 1 A und 2 A's!
I. [mm] (\bruch{1}{6})^0 [/mm] * [mm] (\bruch{5}{6})^{18}*...
[/mm]
II. [mm] (\bruch{1}{6})^1 [/mm] * [mm] (\bruch{5}{6})^{17}*...
[/mm]
III. [mm] (\bruch{1}{6})^2 [/mm] * [mm] (\bruch{5}{6})^{16}*...
[/mm]
Ergebnis: 1-I.-II.-III.
zum Aufgabenteil d):
[mm] (\bruch{1}{6})^4*(\bruch{5}{6})^{14}
[/mm]
Der Unterschied zu E3 ist, dass E3 alle möglichen Kombinationen (mit zurücklegen ohne berücksichtigung der Anordnung: [mm] \vektor{n+k-1\\k}) [/mm] zulässt und die erste Frage des Aufgabenteils nur genau eine Kombination. Folglich [mm] \vektor{21 \\ 4}=5985 [/mm] mal den oberen Term!
zu e) noch der Tipp: Ihre Behauptung stimmt natürlich nicht
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Vielen herzlichen Dank Juliane!
Wenn Du magst, kannst Du die andere offenen Frage dieser Diskussion als beantwortet markieren....Dein Artikel hat sie beantwortet. Danke nochmal.
Hab nur noch eine letzte Frage, wie rechnet man diesen Term genau aus: [mm] \vektor{18+3-1\\3} [/mm] = 0,3426 ....ich kann ihn leider nicht nachrechnen.
Das sieht doch so aus [mm] \bruch{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} [/mm] = [mm] \bruch{20!}{3!17!} [/mm] = [mm] \bruch{18*19*20}{1*2*3*17}???? [/mm] oder wie war das genau?
Danke + LG Markus
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> Das sieht doch so aus [mm]\bruch{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{20!}{3!17!}[/mm] =
Daraus wird dann:
[mm]\bruch{17!*18*19*20}{3!17!}[/mm]=[mm]\bruch{18*19*20}{1*2*3}[/mm]=1140
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Sa 29.03.2008 | | Autor: | dieda |
Hi,
schön, dass dir das geholfen hat.
Alternativ kannst du es auch wie folgt berechnen:
[mm] \vektor{n+k-1\\k} [/mm] = [mm] \vektor{18+3-1\\3} [/mm] = [mm] \vektor{20\\3}
[/mm]
Sprich "20 über 3"
Dies kannst du in Taschenrechner eingeben: 20 & nCr-Taste & 3 = 1140
Diese Taste ist eigentlich bei jedem normalen Taschenrechner vorhanden.
Viele Grüße,
dieda
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