Lot von punkt zur Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Sa 01.03.2008 | | Autor: | tibbery |
So,nachdem ich jetzt seit 2 geschlagenen Stunden auf dem Schlauch stehe und mir leider auch die (eigentlich sehr verständlichen) theoretischen Antworten nichts nützen, hier eine konkrete Aufgabe. Irgendwie fehlt mir immer ein Richtungsvektor... (ich hantiere schon mit Stiften als Geraden und Büchern als Ebenen ;) Danke im vorraus!
Gegeben sind die Punkte P(2/3/4) Q(1/1/1) und R (5/5/3)
Berechnen Sie die Parameterform der Geraden g, die durch die Punkte Q und R geht und bestimmten Sie den Fußpunkt des Lotes auf g.
So weit schaff ichs noch:
Gerade g: (1/1/1) +t(2/2/1)
jetzt würde ich gerne mit der "Hilfsebene" arbeiten, das ist so schick anschaulich.
Also Hilfsebene E geht durch P und steht senkrecht zur Geraden g.
E: (2/3/4) + s(4/-2/2) + v(???)
So, hier ist mein Problempunkt. Den ersten Richtungsvektor bestimme ich ja mit dem Kreuzprodukt aus dem Richtungsvektor von g und dem Verktor PQ. Aber der zweite? Wies danach weiter geht,weiß ich dann auch, Schnitt Ebene - Gerade.
Sorry für diese leicht dämliche Frage... vermutlich seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht!
Vielen Dank und hallo im Forum ;)
Juliane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 01.03.2008 | | Autor: | abakus |
> So,nachdem ich jetzt seit 2 geschlagenen Stunden auf dem
> Schlauch stehe und mir leider auch die (eigentlich sehr
> verständlichen) theoretischen Antworten nichts nützen,
> hier eine konkrete Aufgabe. Irgendwie fehlt mir immer ein
> Richtungsvektor... (ich hantiere schon mit Stiften als
> Geraden und Büchern als Ebenen ;) Danke im vorraus!
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> Gegeben sind die Punkte P(2/3/4) Q(1/1/1) und R (5/5/3)
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> Berechnen Sie die Parameterform der Geraden g, die durch
> die Punkte Q und R geht und bestimmten Sie den Fußpunkt des
> Lotes auf g.
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> So weit schaff ichs noch:
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> Gerade g: (1/1/1) +t(2/2/1)
>
> jetzt würde ich gerne mit der "Hilfsebene" arbeiten, das
> ist so schick anschaulich.
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> Also Hilfsebene E geht durch P und steht senkrecht zur
> Geraden g.
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> E: (2/3/4) + s(4/-2/2) + v(???)
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> So, hier ist mein Problempunkt. Den ersten Richtungsvektor
> bestimme ich ja mit dem Kreuzprodukt aus dem
> Richtungsvektor von g und dem Verktor PQ. Aber der zweite?
> Wies danach weiter geht,weiß ich dann auch, Schnitt Ebene -
> Gerade.
> Sorry für diese leicht dämliche Frage... vermutlich seh
> ich den Wald vor lauter Bäumen nicht!
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> Vielen Dank und hallo im Forum ;)
>
> Juliane
Hallo Juliane,
mach es doch nicht so kompliziert. Das Lot ist eine bestimmte Strecke vom Punkt P zu einem der Punkte auf der Geraden g.
Was unterscheidet den Lotfußpunkt L von allen anderen Punkten der Gerade?
- er liegt dem Punkt P am nächsten
- Der Vektor [mm] $\overrightarrow{PL} [/mm] $ steht senkrecht auf g
Damit hast du zwei mögliche einfache Ansätze:
1) Der Ortsvektor jedes Geradenpunkts X (auch von L) lässt sich darstellen als [mm] \vektor{1\\1\\1} +t*\vektor{2\\2\\1}= \vektor{1+2t\\1+2t\\1+t}.
[/mm]
Du kannst den Vektor von P zu diesem beliebigen Geradenpunkt aufstellen und seinen Betrag angeben. Es gibt ein t, für das dieser Betrag minimal wird (Extremwertaufgabe).
2) Bei senkrecht aufeinander stehenden Vektoren ist das Skalarprodukt Null. Bilde also das Skalarprodukt aus [mm] \vektor{1+2t\\1+2t\\1+t} [/mm] und dem Richtungsvektor von g und setze es Null. Du erhältst den Wert t, der zum Punkt L füht.
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