Lotgerade windschiefer Geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 15.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich muss die entsprechende Lotgerade zweier windschiefer Geraden berechnen.
Gerade g: O(0;0;0) ; A(5;0;0)
Gerade h: B(5;6;0) ; D(0;3;6)
mein Lösungsvorschlag:
1. mit Hilfe der Geraden g und dem gemeinsamen Normalenverktor n erzeuge ich eine Hilfsebene die ich anschließend mit der Geraden h gleichsetzte
2. ich bekomme einen Lotfußpunkt auf h raus, der entsprechend mein Stützvektor meiner Lotgeraden ist
3. setzte ich dann die Lotgerade mit g gleich bekomme ich den 2. Lotfußpunkt
meine Frage ist, gibt es da einen einfacheren weg oder überhaupt einen anderen Weg um die Lotgerade zu bestimmen?
Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe
mfg Krisu112
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 15.04.2006 | | Autor: | vanguard2k |
Okay. Vielleicht kann man es dahingehend vereinfachen, dass man nur einen Punkt berechnet. Die Lotgerade müsste dann von diesem Punkt und dem Normalvektor aufgespannt werden, wenn ich mich nicht komplett irre...
Mfg
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 15.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo michael,
du hast recht, ich brauch nur einen Punkt und einen Normalenvektor um die Lotgerade zu erzeugen, jedoch suche ich eine generell andere Lösungsmöglichkeit dieser Aufgabe, trotzdem danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Hi krisu 112,
ALso ob mein Weg einfacher ist weiß ich nicht, ich hab rein logisch gedacht. Und logische Wege sind für mich am Einfachsten.
Ich hab mir erst mal die 2 Geraden aus den Punkten bestimmt und die wären:
g: [mm] \vec x=r*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix};[/mm] [mm] r\in\IR [/mm]
h: [mm] \vec z=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix};[/mm] [mm] t\in\IR [/mm]
Dann brauchst du noch den Normalenvektor [mm] \vec [/mm] n, den du mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren beider Geraden bestimmst, der wäre dann: [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus hab ich eine Gerade gebastelt:
n: [mm] \vec n=s*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm] s\in\IR [/mm]
Die Geraden g und n habe ich als Linearkombination gleichgesetzt, so dass die die Gerade h erfüllen.
[mm] r*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix};[/mm] [mm] r,s,t\in\IR [/mm]
Dann ermittelst du die Parameter r, s und t, sodass die obige Gleichung bzw. Linearkombination erfüllt ist.
Ich habe für r=3 ( s=2,4 und t=9/15 )
Für den Fußpunkt auf der Geraden g setzt du dann den Parameter r in die entsprechende Gleichung ein. Daraus folgt der Fußpunkt F(3/0/0), welcher der Stützvektor des Lotgeraden ist.
l: [mm] \vec l=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+u*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm] [mm] u\in\IR [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Mir ist inzwischen noch eine andere und sinnvollere Idee eingefallen:
Die Lotgerade sieht ja bis jetzt so aus:
l: [mm] \vec l=\vec f+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Du kannst mithilfe einer Ebene, die durch alle Punkte der Geraden h verläuft ( [mm] h\in\[/mm]E ) und den Normalenvektor enthält, den Fußpunkt (Durchstoßpunkt) der Gerade g ermitteln.
Stell dir vor du hast 2 Stahldrähte im Raum gespannt die windschief verlaufen (Das sind die Geraden). Und auf einem Draht hängst du ein Handtuch (Ebene). Dieser Handtuch ist unendlich gross und die andere Gerade schneidet das Handtuch.
Du bildest erstmal ebene mithilfe der 2 richtvektoren. Die Ebene ist dann parallel zu beiden Geraden.
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}, [/mm] besser [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wir brauchen aber eine Ebene die einen Durchstoßpunkt mit einer Geraden hat, um den Fußpunkt zu ermitteln. Also um 90° gedreht
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}, [/mm] besser [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
NF: [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}*\left(\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5t \\ 3+3t \\ 6-6t \end{pmatrix}\right)=0[/mm]
3r-15t+3+3t-12+12t=0
r=3
[mm] \vec f=3*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
l: [mm]\vec l=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
wenn Interesse besteht kann ich die letzten paar schritte auch erläutern,aber erst morgen. Mir fehlt jetzt die Zeit.
Gruß Adem
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 16.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
ich komme mit meinem Weg, der fast der gleiche ist wie dein erster Vorschlag auf die gleiche Lotgerade, halt eben nur mit dem anderen Stützvektor, da ich über die andere Ebene gegangen bin.
Jedoch habe ich eine Frage zu deiner zweiten Lösung:
Mir ist klar (hoffe ich jedenfalls), dass du die Ebene jetzt praktisch nicht in Parameterform aufspannen willst, sondern eben über die Normalform und du mit Hilfe des Vektorproduktes einen Noralvektor der um 90° gedreht ist suchst.
Jedoch verstehe ich nicht was du ab der Normalenform gemacht hast! Ich hätte einfach die Normalenform in eine Koordinatengleichung umgewandelt und eine Gerade eingesetzt.
[mm] warum\vektor{r\\0\\0} [/mm] ? und nicht einfach (0/0/0) als Stützvektor?
Hoffe du kannst mir weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus
mfg Krisu112
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 16.04.2006 | | Autor: | ademcan |
Ich hab die Normalenform der Ebene genommen, weil ich dessen Normalenvektor leicht berechnen kann und weil die 2 windschiefen Geraden durch diese Ebene verlaufen. Die Gerade h liegt sogar in der Ebene, die Gerade g hat dann nur einen Punkt gemeinsam mit der Ebene, den Fußpunkt.
Allgemein sieht ja die NF so aus: [mm]\vec n*(\vec x-\vec a)=0[/mm]
[mm]\vec x[/mm] und [mm]\vec a[/mm] liegen in NF
Und ich sagte ja eben, dass eine der windschiefen Geraden in der Ebene liegt und die andere einen Durchstoßpunkt mit der Ebene hat.
Daher habe ich beide in die NF eingesetzt...
[mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot{}\left(\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5t \\ 3+3t \\ 6-6t \end{pmatrix}\right)=0
[/mm]
.... und den Parameter r,der Geraden,welchen den Durchstoßpunkt hat, ausgerechnet. Der Parameter t eliminiert sich selber, da die Gerade in der Ebene liegt.
r habe ich dann für die Gerade eingesetzt, umzuberechnen wo dann der Fußpunkt ist, welcher der Stützvektor des Lotgeraden ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 So 16.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
jetzt hab ich deine Vorgehensweise verstanden
Danke
mfg marco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 15.04.2006 | | Autor: | homme |
Hallo,
ich kenne grundsätzlich noch eine eine andere Möglichkeit die Lotgerade zweier windschiefer Gerade zu bestimmen und zwar mittels einer Vektorkette.
Ich habe aber jetzt leider keine Zeit die komplette Antwort zu schreiben. Tut mir leid. Ich melde mich morgen wieder (wahrscheinlich nachmittag).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 15.04.2006 | | Autor: | riwe |
löse das lgs
[mm] t\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{1\\0\\0}\times\vektor{5\\3\\-6}=\vektor{5\\0\\0}+r\vektor{5\\3\\-6}.
[/mm]
das liefert die beiden schnittpunkte der lotgeraden mit g1 und g2.
die idee: jeder punkt auf der geraden g1 hat die form .... , also auch der (noch) gesuchte schnittpunkt mit der lotgeraden, deren richtungsvektor erhälst du mit dem vektorprodukt. und nun schneide sie mit g2.
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 15.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
danke für eure hilfe, sehr verständlich erklärt, ich finde es einfach toll, das es noch Menschen gibt die anderen einfach ohne Gegenleistung helfen
Danke
mfg krisu112
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