Lotto 6 aus 45 Wahrscheinlichk < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Sa 25.04.2015 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim Lotto 6 aus 45
die erste gezogene Zahl die kleinste und die letzte gezogene Zahl die größte aller
gezogenen Gewinnzahlen? |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich hab mir das mal so überlegt:
ich berechne 1.) die wahrscheinlichkeit für "die erste gezogene zahl bleibt die kleinste" und dann 2.) die wahrscheinlichkeit für "die letzte gezogene ist die größte" und dann addiere ich beide und ziehe den durchschnitt ab..
1.)
Angenommen die erste gezogene Zahl ist eine 1, 2, 3,... usw.
Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dass diese Zahl die kleinste bleibt folgendes
[mm] x_1 [/mm] [mm] p(x_2>x_1) [/mm] [mm] p(x_3>x_1) [/mm] ... [mm] p(x_4>x_1)
[/mm]
1 1-0/44 1-0/43 ... 1-0/40
2 1-1/44 1-1/43 ... 1-1/40
3 1-2/44 1-2/43 ... 1-2/40
.
.
.
40 1-39/44 1-39/43 ... 1-39/40
wenn ich nun zeilenweise multipliziere dann wär das ja dann jeweils die wahrscheinlichkeit für "1, 2, 3, ... bleibt die kleinste gezogene zahl"
wie komm ich damit dann zu "die erste gezogene zahl bleibt die kleinste"?
oder bin ich komplett am holzweg...
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Sa 25.04.2015 | | Autor: | chrisno |
Für eine richtige Antwort reicht die Zeit nicht, aber
Du hast 6 verschiedene Zahlen. Sie können in jeder belibigen Reihenfolge gezogen werden. Berechen die Zahl dieser Anordnungen. Wie viele dieser Anordnungen haben die kleinste Zahl auf Platz 1 und die größte auf Platz 6?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Sa 25.04.2015 | | Autor: | elmanuel |
Danke Chrisno!
> Du hast 6 verschiedene Zahlen. Sie können in jeder
> belibigen Reihenfolge gezogen werden. Berechen die Zahl
> dieser Anordnungen.
nunja da ist leicht, das sind [mm] \vektor{45 \\ 6}=8145060
[/mm]
verschiedene Anordnungen
Wie viele dieser Anordnungen haben die
> kleinste Zahl auf Platz 1 und die größte auf Platz 6?
tja das ist eben die frage
auflisten und sortieren würde wohl bei 8145060 Anordnungen zu lange dauern ;)
deswegen habe ich den anderen Ansatz über die Tabelle versucht
|
|
|
| |
|
Hallo, so meinte chrisno das nicht.
Nehmen wir einfach mal an die Zahlen wären 1-6.
Die 1 müsste also am Anfang gezogen werden und die 6 am Schluss.
Die Frage ist jetzt, wie viele verschiedene Anordnungen gibt es unter der Voraussetzung für die Zahlen 2-5?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 26.04.2015 | | Autor: | elmanuel |
> Nehmen wir einfach mal an die Zahlen wären 1-6.
> Die 1 müsste also am Anfang gezogen werden und die 6 am
> Schluss.
> Die Frage ist jetzt, wie viele verschiedene Anordnungen
> gibt es unter der Voraussetzung für die Zahlen 2-5?
das ist die permutation von 4 verschiedenen elementen also sind das 4!=24 Anordnungen
also wäre die wahrscheinlichkeit wenn wir nur die zahlen 1-6 hätten einfach zu berechnen... insgesamt gibt es (unter berücksichtigung der ziehreihenfolge) 6!=720 verschiedene Ausgänge der Ziehung
wobei 24 davon unsere bedingung erfüllen
die wahrscheinlichkeit für "kleinste zahl zuerst größte zahl zuletzt gezogen" ist hier also 24/720=1/30
aber im fall 6 aus 45 ist das ganze schon ordentlich komplizierter, denn da könnten die zahlen 1-40 an erster stelle stehen und 6-45 zuletzt wobei dazwischen noch platz für 5 passende zahlen sein muss ...
also jetzt alle fälle durchzugehen kann ja nicht das einfachste sein oder :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nehmen wir einfach mal an die Zahlen wären 1-6.
> > Die 1 müsste also am Anfang gezogen werden und die 6
> am
> > Schluss.
> > Die Frage ist jetzt, wie viele verschiedene Anordnungen
> > gibt es unter der Voraussetzung für die Zahlen 2-5?
>
> das ist die permutation von 4 verschiedenen elementen also
> sind das 4!=24 Anordnungen
>
> also wäre die wahrscheinlichkeit wenn wir nur die zahlen
> 1-6 hätten einfach zu berechnen... insgesamt gibt es
> (unter berücksichtigung der ziehreihenfolge) 6!=720
> verschiedene Ausgänge der Ziehung
> wobei 24 davon unsere bedingung erfüllen
>
> die wahrscheinlichkeit für "kleinste zahl zuerst größte
> zahl zuletzt gezogen" ist hier also 24/720=1/30
das rechnet man am Besten einfach direkt zu
[mm] $4!/6!=1/(5*6)=1/30\,.$
[/mm]
> aber im fall 6 aus 45 ist das ganze schon ordentlich
> komplizierter, denn da könnten die zahlen 1-40 an erster
> stelle stehen und 6-45 zuletzt wobei dazwischen noch platz
> für 5 passende zahlen sein muss ...
> also jetzt alle fälle durchzugehen kann ja nicht das
> einfachste sein oder :/
Machen wir es doch mal mit 8 Zahlen: insgesamt gibt es
${8 [mm] \choose [/mm] 6}*6!$
Möglichkeiten, 6 von diesen zu ziehen, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Für das, was gefragt ist: Es gibt erstmal
${8 [mm] \choose [/mm] 6}$
Möglichkeiten, ein Sechsertupel auszuwählen. Hierbei spielt die Reihenfolge
keine Rolle.
Haben wir ein solches Tupel (verschiedener Zahlen), so setzen wir bei dem
die erste Stelle fest und die letzte Stelle auch. Es bleiben also 4 Stellen übrig,
die variieren können, um am Ende *ein günstiges Tupel mit Beachtung der Reihenfolge*
zu kreieren.
Wir haben also
${8 [mm] \choose [/mm] 6}*(4!)$
günstige Tupel.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Sa 25.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
Wie die sechs Zahlen gezogen werden und aus welcher Menge sie gewählt werden ist doch im Grunde unerheblich.
Wesentlich ist nur, dass alle sechs Zahlen verschieden sind.
Es gibt sechs Möglichkeiten für die erste Stelle, von denen nur eine die "günstige" ist. Also wird die WKT 1/6 sein müssen.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 26.04.2015 | | Autor: | elmanuel |
> Wie die sechs Zahlen gezogen werden und aus welcher Menge
> sie gewählt werden ist doch im Grunde unerheblich.
> Wesentlich ist nur, dass alle sechs Zahlen verschieden
> sind.
> Es gibt sechs Möglichkeiten für die erste Stelle, von
> denen nur eine die "günstige" ist. Also wird die WKT 1/6
> sein müssen.
Danke!
interessanter ansatz...
also WKT für A="erste zahl die kleinste" ist demnach 1/6
wegen [mm] P(A\cap B)=P(A)-P(A\backslash [/mm] B)
brauch ich also noch die WKT für
[mm] P(A\backslash [/mm] B)= P(erste die kleinste aber die letzte nicht die größte)=?
P(letzte die größte)=1/6
P(letzte nicht die größte)=1-1/6=5/6
und jetzt hmm...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Wie die sechs Zahlen gezogen werden und aus welcher Menge
> > sie gewählt werden ist doch im Grunde unerheblich.
> > Wesentlich ist nur, dass alle sechs Zahlen verschieden
> > sind.
> > Es gibt sechs Möglichkeiten für die erste Stelle, von
> > denen nur eine die "günstige" ist. Also wird die WKT 1/6
> > sein müssen.
>
> Danke!
>
> interessanter ansatz...
>
> also WKT für A="erste zahl die kleinste" ist demnach 1/6
>
> wegen [mm]P(A\cap B)=P(A)-P(A\backslash[/mm] B)
>
> brauch ich also noch die WKT für
>
> [mm]P(A\backslash[/mm] B)= P(erste die kleinste aber die letzte
> nicht die größte)=?
>
> P(letzte die größte)=1/6
> P(letzte nicht die größte)=1-1/6=5/6
>
> und jetzt hmm...
ich würde das so rechnen:
P(1. Zahl ist die kleinste)=1/6 ist ja schon klar. Die Wahrscheinlichkeit, dass
die zweite dann die größte ist, ist 1/5 (5 Zahlen sind verblieben), d.h. die
W'keit, dass die zweite nicht die größte ist, ist 4/5.
Danach ist die W'keit, dass die dritte nicht die größte ist: 3/4 usw.
Also
P(gesucht) = [mm] $\frac{1}{6}*\frac{4}{5}*\frac{3}{4}*\frac{2}{3}*\frac{1}{2}*\frac{1}{1}$
[/mm]
Wenn Du (ein paar Mal) 'von links oben nach rechts unten diagonal kürzt',
dann steht am Ende auch wieder $1/30$ da!
Hier siehst Du übrigens auch, warum die "45 Gesamtzahlen" keine Rolle
spielen - jedenfalls unter der Annahme, dass alle Zahlen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit (und damit auch jedes 6-Tupel verschiedener Zahlen
mit gleicher Wahrscheinlichkeit) gezogen werden.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 26.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> > Wie die sechs Zahlen gezogen werden und aus welcher Menge
> > sie gewählt werden ist doch im Grunde unerheblich.
> > Wesentlich ist nur, dass alle sechs Zahlen verschieden
> > sind.
> > Es gibt sechs Möglichkeiten für die erste Stelle, von
> > denen nur eine die "günstige" ist. Also wird die WKT 1/6
> > sein müssen.
>
> Danke!
>
> interessanter ansatz...
>
> also WKT für A="erste zahl die kleinste" ist demnach 1/6
>
> wegen [mm]P(A\cap B)=P(A)-P(A\backslash[/mm] B)
>
> brauch ich also noch die WKT für
>
> [mm]P(A\backslash[/mm] B)= P(erste die kleinste aber die letzte
> nicht die größte)=?
>
> P(letzte die größte)=1/6
> P(letzte nicht die größte)=1-1/6=5/6
>
> und jetzt hmm...
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an letzter Stelle die größte Zahl kommt wenn an erster Stelle die kleinste kam ist formal eine bedingte WKT.
Aber letztlich ist das doch wieder das gleiche in zuckerlrosa. Ich habe fünf Zahlen und suche die WKT, dass eine bestimmte davon an einer bestimmten Stelle steht.
Und dafür ist die WKT 1/5.
In "Summe" haben wir also die WKT [mm] $\frac [/mm] 1 6 [mm] \cdot \frac [/mm] 1 5 [mm] =\frac [/mm] 1 {30}$.
Gruß RMix
EDIT: Ein andere, etwas weniger elegante Möglichkeit ist ein kombinatorischer Ansatz. Es gibt insgesamt $6!$ Möglichkeiten, die sechs gezogenen Zahlen anzuordnen. Wenn man an die erste Stelle die kleinste und an die letzte Stelle die größte fixiert, dann bleiben für die restlichen vier Zahlen noch $4!$ Anordnungsmöglichkeiten. Daher [mm] $\frac{4!}{6!}=\frac [/mm] 1 {30}$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 26.04.2015 | | Autor: | elmanuel |
Danke Marcel und Danke RMix!
jetzt ist alles klar :)
habe wiedermal etwas zu kompliziert gedacht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 So 26.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Danke Marcel und Danke RMix!
>
> jetzt ist alles klar :)
>
> habe wiedermal etwas zu kompliziert gedacht...
Ja, das Gemeine an der Aufgabe ist, erkennen zu müssen, dass die Herkunft der sechs Zahlen überhaupt keine Rolle spielt. Einzig die Tatsache, dass sie alle voneinander verschieden sind, ist wesentlich.
Gruß RMix
|
|
|
|
