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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Jetzt habe ich mir noch ein bisschen die Sachen aus der Vorlesung angeguckt, aber ich fürchte, ich brauche trotzdem noch recht viel Hilfe bei folgender Aufgabe:
Beweisen Sie die beiden folgenden nützlichen Resultate:
a) Seien drei Zahlen p, q, r [mm] \in [1,\infty] [/mm] gegeben, für die gilt [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=\bruch{1}{r}. [/mm] Dann gilt
[mm] ||fg||_r \le ||f||_p||g||_q [/mm] für alle Funktionen [mm] f\in L^p (\Omega), g\in L^q (\Omega).
[/mm]
Also, hierzu ist mir immerhin schon aufgefallen, dass ich dank der Hölder-Ungleichung schon habe:
für [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1 [/mm] gilt:
[mm] ||fg||_1 \le ||f||_p ||g||_q
[/mm]
Das kann man doch sicherlich dafür verwenden - hat jemand einen Tipp, wie? Irgendwie muss ich da wahrscheinlich das r geschickt wählen... (?)
Oder muss ich den Beweis für diese Ungleichung modifizieren?
b) Seien [mm] 1\le p_0, p_1 [/mm] < [mm] \infty [/mm] gegeben. Sei [mm] \theta \in [/mm] (0,1). Die Zahl p>0 erfülle [mm] \bruch{1}{p}=\bruch{1-\theta}{p_0}+\bruch{\theta}{p_1}. [/mm] Beweisen Sie, dass für alle Funktionen [mm] f\in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega) [/mm] dann gilt:
[mm] ||f||_p \le ||f||_{p0}^{1-\theta} ||f||_{p_1}^\theta.
[/mm]
Also, hierzu ist mir bisher noch nichts eingefallen.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Beweisen Sie die beiden folgenden nützlichen Resultate:
> a) Seien drei Zahlen p, q, r [mm]\in [1,\infty][/mm] gegeben, für
> die gilt [mm]\bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=\bruch{1}{r}.[/mm] Dann
> gilt
> [mm]||fg||_r \le ||f||_p||g||_q[/mm] für alle Funktionen [mm]f\in L^p (\Omega), g\in L^q (\Omega).
[/mm]
>
>
> Also, hierzu ist mir immerhin schon aufgefallen, dass ich
> dank der Hölder-Ungleichung schon habe:
> für [mm]\bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1[/mm] gilt:
> [mm]||fg||_1 \le ||f||_p ||g||_q
[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Das kann man doch
> sicherlich dafür verwenden -
Auf jeden Fall! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Aus $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$
folgt doch:
$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = 1$.
Es gilt wegen $f \in L^p(\Omega)$ und $g \in L^q(\Omega$:
$f^r \in L^{\frac{p}{r}}$ und $g^r \in L^{\frac{q}{q}}$,
und daher nach Hölder:
$\Vert f^r g^r \Vert_1 \le \Vert f^r \Vert_{\frac{p}{r}} \cdot \Vert g^r \Vert_{\frac{q}{r}}$.
Ausgeschrieben bedeutet das:
$\int\limits_{\Omega} |f^r g^r|\, d\mu \le \left( \int\limits_{\Omega} |f^r|^{\frac{p}{r}}\, d\mu \right)^{\frac{r}{p}} \cdot \left( \int\limits_{\Omega} |g^r|^{\frac{q}{r}}\, d\mu \right)^{\frac{r}{q}} = \left( \int\limits_{\Omega} |f|^p\, d\mu \right)^{\frac{r}{p}} \cdot \left( \int\limits_{\Omega} |g|^{q}\, d\mu \right)^{\frac{r}{q}}$.
Zieht man jetzt noch auf beiden Seiten der Ungleichung die $r$-te Wurzel, so folgt:
$\left( \int\limits_{\Omega} |(fg)|^r\, d\mu \right) \right)^{\frac{1}{r}} \le \left( \int\limits_{\Omega} |f|^p\, d\mu \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \int\limits_{\Omega} |g|^{q}\, d\mu \right)^{\frac{1}{q}}$,
also:
$\Vert fg\Vert_r \le \Vert f \Vert_p \cdot \Vert g \Vert_q$,
wie behauptet.
> b) Seien [mm]1\le p_0, p_1[/mm] < [mm]\infty[/mm] gegeben. Sei [mm]\theta \in[/mm]
> (0,1). Die Zahl p>0 erfülle
> [mm]\bruch{1}{p}=\bruch{1-\theta}{p_0}+\bruch{\theta}{p_1}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass für alle Funktionen [mm]f\in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)[/mm]
> dann gilt:
> [mm]||f||_p \le ||f||_{p0}^{1-\theta} ||f||_{p_1}^\theta.
[/mm]
Es gilt wegen $f [mm] \in L^{p_0}(\Omega)$:
[/mm]
[mm] $f^{(1-\theta)p} \in L^{\frac{p_0}{(1-\theta)p}}(\Omega)$
[/mm]
und wegen $f [mm] \in L^{p_1}(\Omega)$
[/mm]
[mm] $f^{\theta p} \in L^{\frac{p_1}{\theta p}}(\Omega)$
[/mm]
Daher ist nach Hölder wegen [mm] $\frac{(1-\theta)p}{p_0} [/mm] + [mm] \frac{\theta p}{p_1}=1$:
[/mm]
[mm] $\Vert f^p \Vert_1 [/mm] = [mm] \Vert f^{(1-\theta)p} \cdot f^{\theta p} \Vert_1 \le \Vert f^{(1-\theta)p} \Vert_{\frac{p_0}{(1-\theta)p}} \cdot \Vert f^{\theta p} \Vert_{\frac{p_1}{\theta p}}$.
[/mm]
Schreib das mal aus, forme es (ähnlich wie oben) ein wenig um, und du kommst auf die Behauptung.
Melde dich bitte wieder bei Unklarheiten. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke schonmal für die Antwort. Das scheint ja eigentlich nur stures Hinschreiben zu sein!?
> Es gilt wegen [mm]f \in L^p(\Omega)[/mm] und [mm]g \in L^q(\Omega[/mm]:
>
>
> [mm]f^r \in L^{\frac{p}{r}}[/mm] und [mm]g^r \in L^{\frac{q}{q}}[/mm],
Mmh, also warum das gilt, ist mir noch nicht ganz klar. Ich hatte da schonmal ein bisschen rumgerechnet, irgendwann hatte ich es glaube ich dann auch raus, aber jetzt kriege ich es irgendwie nicht mehr hin.
Es ist doch:
[mm] ||f||_p :=(\integral{|f|^p d\mu})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Und was genau bedeutet [mm] f\in L^p? [/mm] Einfach nur, dass dieses Integral da existiert?
Jedenfalls wäre ja dann:
[mm] ||f^r||_p=(\integral{|f^r|^p d\mu})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
und weiter?
> > b) Seien [mm]1\le p_0, p_1[/mm] < [mm]\infty[/mm] gegeben. Sei [mm]\theta \in[/mm]
>
> > (0,1). Die Zahl p>0 erfülle
> > [mm]\bruch{1}{p}=\bruch{1-\theta}{p_0}+\bruch{\theta}{p_1}.[/mm]
>
> > Beweisen Sie, dass für alle Funktionen [mm]f\in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)[/mm]
>
> > dann gilt:
> > [mm]||f||_p \le ||f||_{p0}^{1-\theta} ||f||_{p_1}^\theta.
[/mm]
>
>
>
> Es gilt wegen [mm]f \in L^{p_0}(\Omega)[/mm]:
>
> [mm]f^{(1-\theta)p} \in L^{\frac{p_0}{(1-\theta)p}}(\Omega)[/mm]
>
>
> und wegen [mm]f \in L^{p_1}(\Omega)[/mm]
>
> [mm]f^{\theta p} \in L^{\frac{p_1}{\theta p}}(\Omega)[/mm]
>
> Daher ist nach Hölder wegen [mm]\frac{(1-\theta)p}{p_0} + \frac{\theta p}{p_1}=1[/mm]:
>
>
> [mm]\Vert f^p \Vert_1 = \Vert f^{(1-\theta)p} \cdot f^{\theta p} \Vert_1 \le \Vert f^{(1-\theta)p} \Vert_{\frac{p_0}{(1-\theta)p}} \cdot \Vert f^{\theta p} \Vert_{\frac{p_1}{\theta p}}[/mm].
>
>
> Schreib das mal aus, forme es (ähnlich wie oben) ein wenig
> um, und du kommst auf die Behauptung.
So, also ich habe das jetzt so gemacht:
[mm] ||f^p||_1 =\integral{|f^p|d\mu} \le (\integral{|f^{(1-\theta)p}|^{\bruch{p_0}{p(1-\theta)}}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}} (\integral{|f^{\theta p}|^{\bruch{p_1}{p\theta}}d\mu})^{\bruch{p_0}{p_1}} [/mm] = [mm] (\integral{|f|^{p_0}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}}(\integral{|f|^{p_1}d\mu})^{\bruch{p\theta}{p_1}} [/mm] = [mm] ||f||_{p_0}^{\bruch{1-\theta}{p_0}}||f||_{p_1}^{\theta}
[/mm]
was ich haben wollte.
Ist das so richtig?
Puh, das ist ja ne Schreiberei hier mit den ganzen Klammern und geschweifte und runde und überhaupt. Jetzt habe ich bestimmt fast eine Stunde gebraucht, um die Aufgabe zu rechnen und hier hin zu schreiben, und dabei den Großteil nur für's Schreiben. Aber ich sollte mich ja nicht beschweren, schließlich bekomme ich ja auch was dafür.
Jedenfalls hoffe ich, dass ich mich jetzt hier nirgendwo vertippt habe, obwohl ich schon so oft auf Vorschau geklickt und Eingabefehler verbessert habe...
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Danke schonmal für die Antwort. Das scheint ja eigentlich
> nur stures Hinschreiben zu sein!?
Ja, sicher. Alles im Mathestudium bis zur Diplomarbeit ist im Prinzip stures Hinschreiben, oder? Jedenfalls im Nachhinein betrachtet...
> > Es gilt wegen [mm]f \in L^p(\Omega)[/mm] und [mm]g \in L^q(\Omega[/mm]:
> >
>
> >
> > [mm]f^r \in L^{\frac{p}{r}}[/mm] und [mm]g^r \in L^{\frac{q}{q}}[/mm],
>
>
> Mmh, also warum das gilt, ist mir noch nicht ganz klar.
Nun ja: Welche Funktionen liegen in [mm] $L^{\frac{p}{r}}$? [/mm] Diegenigen, für die
[mm] $\integral{|f|^{\frac{p}{r}}} d\mu [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
gilt. Überprüfen wir das mal für [mm] $f^r$. [/mm] Es gilt:
[mm] $\integral{|f^r|^{\frac{p}{r}}} d\mu =\integral{|f|^{p}} d\mu [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
(die beiden $r$'s kürzen sich weg)
wegen $f [mm] \in L^p$.
[/mm]
> > > b) Seien [mm]1\le p_0, p_1[/mm] < [mm]\infty[/mm] gegeben. Sei [mm]\theta \in[/mm]
>
> >
> > > (0,1). Die Zahl p>0 erfülle
> > > [mm]\bruch{1}{p}=\bruch{1-\theta}{p_0}+\bruch{\theta}{p_1}.[/mm]
>
> >
> > > Beweisen Sie, dass für alle Funktionen [mm]f\in L^{p_0}(\Omega) \cap L^{p_1}(\Omega)[/mm]
>
> >
> > > dann gilt:
> > > [mm]||f||_p \le ||f||_{p0}^{1-\theta} ||f||_{p_1}^\theta.
[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Es gilt wegen [mm]f \in L^{p_0}(\Omega)[/mm]:
> >
> > [mm]f^{(1-\theta)p} \in L^{\frac{p_0}{(1-\theta)p}}(\Omega)[/mm]
>
> >
> >
> > und wegen [mm]f \in L^{p_1}(\Omega)[/mm]
> >
> > [mm]f^{\theta p} \in L^{\frac{p_1}{\theta p}}(\Omega)[/mm]
> >
>
> > Daher ist nach Hölder wegen [mm]\frac{(1-\theta)p}{p_0} + \frac{\theta p}{p_1}=1[/mm]:
>
> >
> >
> > [mm]\Vert f^p \Vert_1 = \Vert f^{(1-\theta)p} \cdot f^{\theta p} \Vert_1 \le \Vert f^{(1-\theta)p} \Vert_{\frac{p_0}{(1-\theta)p}} \cdot \Vert f^{\theta p} \Vert_{\frac{p_1}{\theta p}}[/mm].
>
> >
> >
> > Schreib das mal aus, forme es (ähnlich wie oben) ein
> wenig
> > um, und du kommst auf die Behauptung.
>
> So, also ich habe das jetzt so gemacht:
> [mm]||f^p||_1 =\integral{|f^p|d\mu} \le (\integral{|f^{(1-\theta)p}|^{\bruch{p_0}{p(1-\theta)}}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}} (\integral{|f^{\theta p}|^{\bruch{p_1}{p\theta}}d\mu})^{\bruch{p_0}{p_1}}[/mm]
> =
> [mm](\integral{|f|^{p_0}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}}(\integral{|f|^{p_1}d\mu})^{\bruch{p\theta}{p_1}}[/mm]
> = [mm]||f||_{p_0}^{\bruch{1-\theta}{p_0}}||f||_{p_1}^{\theta}
[/mm]
> was ich haben wollte.
> Ist das so richtig?
Nein. Nicht ganz, aber fast. Richtig geht es so:
[mm] $\integral{|f^p|}d\mu$
[/mm]
[mm] $\le (\integral{|f^{(1-\theta)p}|^{\bruch{p_0}{p(1-\theta)}}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}} (\integral{|f^{\theta p}|^{\bruch{p_1}{p\theta}}d\mu})^{\bruch{p_0}{p_1}}$
[/mm]
[mm](\integral{|f|^{p_0}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}}(\integral{|f|^{p_1}d\mu})^{\bruch{p\theta}{p_1}}[/mm].
Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die $p$-te Wurzel und erhalten:
$ [mm] \left(\integral{|f^p|}d\mu\right)^{\frac{1}{p}} \le \left(\integral{|f|^{p_0}d\mu} \right)^{\bruch{(1-\theta)}{p_0}}\left(\integral{|f|^{p_1}d\mu} \right)^{\bruch{\theta}{p_1}} [/mm] = [mm] \left[\left(\integral{|f|^{p_0}d\mu} \right)^{\frac{1}{p_0}}\right]^{1-\theta} \cdot \left[\left(\integral{|f|^{p_1}d\mu} \right)^{\bruch{1}{p_1}}\right]^{\theta} [/mm] = [mm] \Vert [/mm] f [mm] \Vert_{p_0}^{1- \theta} \cdot \Vert [/mm] f [mm] \Vert_{p_1}^{\theta}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 09.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Ja, sicher. Alles im Mathestudium bis zur Diplomarbeit ist
> im Prinzip stures Hinschreiben, oder? Jedenfalls im
> Nachhinein betrachtet...
Was heißt "bis zur"? Die Diplomarbeit selber dann nicht mehr, oder wie? Naja, ich würde das gerne glauben mit dem sturen Hinschreiben. Aber vielleicht sehe ich es ja wenigstens im Nachhinein so. 
> > So, also ich habe das jetzt so gemacht:
>
>
> > [mm]||f^p||_1 =\integral{|f^p|d\mu} \le (\integral{|f^{(1-\theta)p}|^{\bruch{p_0}{p(1-\theta)}}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}} (\integral{|f^{\theta p}|^{\bruch{p_1}{p\theta}}d\mu})^{\bruch{p_0}{p_1}}[/mm]
>
> > =
> >
> [mm](\integral{|f|^{p_0}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}}(\integral{|f|^{p_1}d\mu})^{\bruch{p\theta}{p_1}}[/mm]
>
> > =
> [mm]||f||_{p_0}^{\bruch{1-\theta}{p_0}}||f||_{p_1}^{\theta}
[/mm]
> > was ich haben wollte.
> > Ist das so richtig?
>
> Nein. Nicht ganz, aber fast. Richtig geht es so:
>
> [mm]\integral{|f^p|}d\mu[/mm]
>
> [mm]\le (\integral{|f^{(1-\theta)p}|^{\bruch{p_0}{p(1-\theta)}}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}} (\integral{|f^{\theta p}|^{\bruch{p_1}{p\theta}}d\mu})^{\bruch{p_0}{p_1}}[/mm]
>
>
> [mm](\integral{|f|^{p_0}d\mu})^{\bruch{p(1-\theta)}{p_0}}(\integral{|f|^{p_1}d\mu})^{\bruch{p\theta}{p_1}}[/mm].
>
> Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die [mm]p[/mm]-te Wurzel und
> erhalten:
>
> [mm]\left(\integral{|f^p|}d\mu\right)^{\frac{1}{p}} \le \left(\integral{|f|^{p_0}d\mu} \right)^{\bruch{(1-\theta)}{p_0}}\left(\integral{|f|^{p_1}d\mu} \right)^{\bruch{\theta}{p_1}} = \left[\left(\integral{|f|^{p_0}d\mu} \right)^{\frac{1}{p_0}}\right]^{1-\theta} \cdot \left[\left(\integral{|f|^{p_1}d\mu} \right)^{\bruch{1}{p_1}}\right]^{\theta} = \Vert f \Vert_{p_0}^{1- \theta} \cdot \Vert f \Vert_{p_1}^{\theta}[/mm].
Mmh, also so verkehrt war mein's aber doch wohl nicht! Ich war nur am Ende etwas vorschnell, konnte man das nicht einfach sehen?
Naja, ich glaube, das meiste habe ich jetzt wirklich verstanden. Aber zwei klitzekleiner Fragen sind noch aufgetaucht:
gilt Folgendes?
[mm] ||fg||_r [/mm] = [mm] ||f^r g^r||_1
[/mm]
und was genau bedeutet [mm] f\inL^p (\Omega)? [/mm] Das [mm] ||f||_p [/mm] := ... < [mm] \infty? [/mm] Oder sonst noch etwas?
Aber vielen Dank für deine Antwort und viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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