Lsg der Ungleichung bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeichnen Sie das Schaubild der Funktionen g : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit g(x) = [mm] |x^2 [/mm] − 4| − [mm] \bruch{1}{2}|x+2| [/mm] und bestimmen
Sie zeichnerisch und rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung
[mm] |x^2 [/mm] − 4| [mm] <\bruch{1}{2}|x [/mm] + 2|. |
Hallo,
so, hierzu hätte ich auch Fragen (werden bestimmt noch mehr Fragen auftauchen, je mehr Aufgaben ich jetzt gleich durcharbeite^^):
1) Wie sieht dieser Graph aus?
Ich habe mir zwar dieses GeoGebra, was hier jemand empfohlen hat, runtergeladen, bekomme aber keine Funktion angezeigt. Versuche immer mit Befehl Funktion und dann der Funktion, aber irgendwie meldet er da immer einen Fehler.
Ich möchte aber auch so wissen, wie ich darauf komme, schließlich schreibe ich nächste Woche eine Klausur und so etwas wird sicherlich dran kommen.
2) Muss ich hier wieder mit Fällen arbeiten? Wenn ja, dann mit x<-4, -4<x<2 und x>2? Oder mit [mm] \le [/mm] und [mm] \ge?
[/mm]
Und dann halt schauen, ob ich die Beträge so nehmen kann oder negativ machen muss?
Danke schon einmal für eure Hilfe!
grüße,
Sebastian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Für den Funktionsgraphen kannst Du Dir auch gerne die Freeware ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot runterladen.
Für die rechnerische Bestimmung der Ungleichung solltest Du folgenden Umformung verwenden:
[mm] $$\left|x^2 − 4\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|$$
[/mm]
[mm] $$\left|(x+2)*(x-2)\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|$$
[/mm]
[mm] $$\left|(x+2)\right|*\left|(x-2)\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|$$
[/mm]
Nun genügt hier zunächst die Fallunterscheidung $x \ [mm] \not= [/mm] \ -2$ bzw. $x \ = \ -2$ , um durch den Term [mm] $\left|(x+2)\right|$ [/mm] teilen zu dürfen.
Um das Ungleichheitszeichen muss man sich hier keine Gedanken machen, da [mm] $\left|(x+2)\right|$ [/mm] für $x \ [mm] \not= [/mm] \ -2$ immer positiv ist.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Hallo Sebastian!
>
>
> Für den Funktionsgraphen kannst Du Dir auch gerne die
> Freeware FunkyPlot
> runterladen.
>
>
> Für die rechnerische Bestimmung der Ungleichung solltest
> Du folgenden Umformung verwenden:
>
> [mm]\left|x^2 − 4\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> [mm]\left|(x+2)*(x-2)\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> [mm]\left|(x+2)\right|*\left|(x-2)\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> Nun genügt hier zunächst die Fallunterscheidung [mm]x \ \not= \ -2[/mm]
> bzw. [mm]x \ = \ -2[/mm] , um durch den Term [mm]\left|(x+2)\right|[/mm]
> teilen zu dürfen.
> Um das Ungleichheitszeichen muss man sich hier keine
> Gedanken machen, da [mm]\left|(x+2)\right|[/mm] für [mm]x \ \not= \ -2[/mm]
> immer positiv ist.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ah, die Freeware gefällt mir sehr gut.:) Jetzt weiß ich auch, wie der aussieht.:)
Danke schon einmal für die Antwort!
Aber ne Frage zur rechnerischen Variante:
Gut, wenn ich jetzt x=-2 setze, erhalte ich [mm] |-4|<\bruch{1}{2}
[/mm]
Wie kann ich x aber [mm] x\not=-2 [/mm] setzen bzw was käme da raus?
Und wenn ich dies getan habe, erhalte ich dann schon die Lösungsmenge? Oder wie muss ich weiter verfahren?
Mögen dumme Fragen sein, aber ich hoffe, dass ich trotzdem ne Antwort komme. Mathe ist wahrlich nicht eine meiner Stärken.^^
|
|
|
| |
|
> > Hallo Sebastian!
> >
> >
> > Für den Funktionsgraphen kannst Du Dir auch gerne die
> > Freeware FunkyPlot
> > runterladen.
> >
> >
> > Für die rechnerische Bestimmung der Ungleichung solltest
> > Du folgenden Umformung verwenden:
> >
> > [mm]\left|x^2 − 4\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> >
> > [mm]\left|(x+2)*(x-2)\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> >
> > [mm]\left|(x+2)\right|*\left|(x-2)\right| \ < \ \bruch{1}{2}*\left|x + 2\right|[/mm]
>
> >
> > Nun genügt hier zunächst die Fallunterscheidung [mm]x \ \not= \ -2[/mm]
> > bzw. [mm]x \ = \ -2[/mm] , um durch den Term [mm]\left|(x+2)\right|[/mm]
> > teilen zu dürfen.
> > Um das Ungleichheitszeichen muss man sich hier keine
> > Gedanken machen, da [mm]\left|(x+2)\right|[/mm] für [mm]x \ \not= \ -2[/mm]
> > immer positiv ist.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
> Ah, die Freeware gefällt mir sehr gut.:) Jetzt weiß ich
> auch, wie der aussieht.:)
>
> Danke schon einmal für die Antwort!
>
> Aber ne Frage zur rechnerischen Variante:
> Gut, wenn ich jetzt x=-2 setze, erhalte ich
> [mm]|-4|<\bruch{1}{2}[/mm]
nein, du erhälst 0<0 (du willst ja durch |x+2| teilen, was ja nur erlaubt ist wenn [mm] x\not=-2, [/mm] das wird dann aber in der zeile getan, bevor geteilt wird, sonst wär die lösung, bzw in diesem fall nichtlösung, flöten gegangen).
> Wie kann ich x aber [mm]x\not=-2[/mm] setzen bzw was käme da
> raus?
>
nachdem geteilt wurde, simmer ja bei:
|x-2|<0.5
nun kommen 2 fallunterscheidungen:
a) [mm] x-2\ge0
[/mm]
b) $ x-2<0 $
für den fall a) heisst das für den betrag, dass er entfällt, da die zahl dann eh positiv ist (das x der ungleichung der fallunterscheidung muss aber noch aufgelöst werden), nun löst man nach x auf
für fall b): man weiss nach lösung der ungleichung für die fallunterscheidung, für welche x der "inhalt" des betrages negativ ist, und löst den betrag dann so auf:
|x|=-x für x<0
> Und wenn ich dies getan habe, erhalte ich dann schon die
> Lösungsmenge? Oder wie muss ich weiter verfahren?
>
> Mögen dumme Fragen sein, aber ich hoffe, dass ich trotzdem
> ne Antwort komme. Mathe ist wahrlich nicht eine meiner
> Stärken.^^
|
|
|
|
