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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Di 25.08.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Aus dem Skript:
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann über die Methode der Variation der Koeffizienten der homogenen Lösung gefunden werden:
[mm] u_{partikulär}= e^{A*t} [/mm] * C(t) => C ' (t) = [mm] e^{-A*t} [/mm] * s(t)
Die allgemeinere Form der Lösung über die Präsentation durch die kanonische Integralbasis wird in dem nachfolgenden Beispiel demonstriert.
u'= [mm] \vektor{x' \\ y'} [/mm] = A*u + s = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }* \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{-36*t \\ -2*e^t}
[/mm]
Dann ergeben sich über das chrakteristische Polynom die Nullstellen zu
[mm] \lambda_{1}= [/mm] 3 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
und somit die homegene Lösung zu:
[mm] x_{h} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{3*t} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{2*t}
[/mm]
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] -C_{1}*e^{3*t} [/mm] - [mm] 2*C_{2}*e^{2*t}
[/mm]
Nun suchen wir nach der partikulären Lösung:
[mm] x_{p} [/mm] = [mm] C_{1}(t)*e^{3*t} [/mm] + [mm] C_{2}(t)*e^{2*t}
[/mm]
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] -C_{1}(t)*e^{3*t} [/mm] - [mm] 2*C_{2}(t)*e^{2*t}
[/mm]
[mm] C_{1}' *e^{3*t} [/mm] + [mm] C_{2}' *e^{2*t} [/mm] = -36*t
[mm] -C_{1}' *e^{3*t} [/mm] - [mm] 2*C_{2}' *e^{2*t} [/mm] = [mm] -2*e^{t}
[/mm]
[mm] C_{1}' [/mm] = [mm] -72*t*e^{-3*t} [/mm] - [mm] 2*e^{-2*t}
[/mm]
[mm] C_{2}' [/mm] = [mm] 36*t*e^{-2*t} [/mm] + [mm] 2*e^{-t} [/mm]
.
.
.
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Hallo,
also, ich verstehe das alles bis dahin wo es rot wird.
Ich verstehe nicht was ich da für was eingesetzt habe.
Ich habe ja ganz oben die Vorgabe
[mm] u_{partikulär}= e^{A*t} [/mm] * C(t) => C ' (t) = [mm] e^{-A*t} [/mm] * s(t)
und die hätte ich jetzt darauf angewandt. Allerdings komme ich nicht auf das was da oben in rot steht....
Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben :)
Und dann hab ich noch eine allgemeine Frage:
Wenn ich die homogene Lösung irgendeiner DGL bestimme, darf man dann immer nur soviele Konstanten in der Lösung haben wie der Grad der DGL ist ?
Danke schon mal
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> Aus dem Skript:
>
> Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann über die
> Methode der Variation der Koeffizienten der homogenen
> Lösung gefunden werden:
>
> [mm]u_{partikulär}= e^{A*t}[/mm] * C(t) => C ' (t) = [mm]e^{-A*t}[/mm] *
> s(t)
>
> Die allgemeinere Form der Lösung über die Präsentation
> durch die kanonische Integralbasis wird in dem
> nachfolgenden Beispiel demonstriert.
>
> u'= [mm]\vektor{x' \\ y'}[/mm] = A*u + s = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }* \vektor{x \\ y}[/mm]
> + [mm]\vektor{-36*t \\ -2*e^t}[/mm]
>
> Dann ergeben sich über das chrakteristische Polynom die
> Nullstellen zu
> [mm]\lambda_{1}=[/mm] 3 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
> und somit die homegene Lösung zu:
>
> [mm]x_{h}[/mm] = [mm]C_{1}*e^{3*t}[/mm] + [mm]C_{2}*e^{2*t}[/mm]
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]-C_{1}*e^{3*t}[/mm] - [mm]2*C_{2}*e^{2*t}[/mm]
>
> Nun suchen wir nach der partikulären Lösung:
> [mm]x_{p}[/mm] = [mm]C_{1}(t)*e^{3*t}[/mm] + [mm]C_{2}(t)*e^{2*t}[/mm]
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]-C_{1}(t)*e^{3*t}[/mm] - [mm]2*C_{2}(t)*e^{2*t}[/mm]
>
das nennen wir gleichung I
> [mm]C_{1}' *e^{3*t}[/mm] + [mm]C_{2}' *e^{2*t}[/mm] = -36*t
gleichung II
> [mm]-C_{1}' *e^{3*t}[/mm] - [mm]2*C_{2}' *e^{2*t}[/mm] = [mm]-2*e^{t}[/mm]
wenn du nun gleichung I mit II addierst und mit [mm] -e^{-2t} [/mm] multiplizierst, kommst du auf die unten folgende gleichung für [mm] C_2.
[/mm]
wenn du dann gleichung I mit 2 multiplizierst, gleichung II addierst und die gleichung dann mit [mm] e^{-3t} [/mm] multiplizierst, kriegst du die unten folgende gleichung für [mm] C_1 [/mm] heraus.
>
> [mm]C_{1}'[/mm] = [mm]-72*t*e^{-3*t}[/mm] - [mm]2*e^{-2*t}[/mm]
> [mm]C_{2}'[/mm] = [mm]36*t*e^{-2*t}[/mm] + [mm]2*e^{-t}[/mm]
>
> .
> .
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> Hallo,
hallo 
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> also, ich verstehe das alles bis dahin wo es rot wird.
> Ich verstehe nicht was ich da für was eingesetzt habe.
> Ich habe ja ganz oben die Vorgabe
> [mm]u_{partikulär}= e^{A*t}[/mm] * C(t) => C ' (t) = [mm]e^{-A*t}[/mm] *
> s(t)
> und die hätte ich jetzt darauf angewandt. Allerdings
> komme ich nicht auf das was da oben in rot steht....
> Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben :)
>
> Und dann hab ich noch eine allgemeine Frage:
> Wenn ich die homogene Lösung irgendeiner DGL bestimme,
> darf man dann immer nur soviele Konstanten in der Lösung
> haben wie der Grad der DGL ist ?
mh kenne leider nur wenige formen von dgls, daher kann ich die frage da nicht global für beantworten.
>
> Danke schon mal
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