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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] V(u,v)=u^4+v^2 [/mm] eine Lyapunov-funktion ist bei (0,0) für
[mm] u'(x)=v(x)^2-u(x)^3
[/mm]
[mm] v'(x)=(u(x)^2-1)v(x)) [/mm] |
V ist eine Lyapunovfunktion, wenn
V(0,0)=0 offensichtlich erfüllt
V(x,y)>0 für (x,y) in einer Umgebung [mm] U\(0,0) [/mm] von (0,0) auch offensichtlich erfüllt
[mm] V°(x,y)=V'(x,y)*f(x)\le0 [/mm] für [mm] x\in [/mm] U
wobei f(x) die Vorschrift: x'(t)=f(x(t)) ist
beim letzten habe ich ein ptoblem:
ich soll da zeigen, dass:
[mm] 4u^3(v^2-u^3)+2v^2(u^2-1)\le0 [/mm]
ist und komme da irgendwie nicht weiter, gibt es da irgendeinen Trick habe ich vielleicht eine sehr einfache Formel nicht mehr im Kopf oder hat vielleicht jemand eine IDee wie man mir da helfen könnte?
Dannwäre es nett wenn man mir das sagen würde. Vielen Dank jumape
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass [mm]V(u,v)=u^4+v^2[/mm] eine Lyapunov-funktion ist
> bei (0,0) für
> [mm]u'(x)=v(x)^2-u(x)^3[/mm]
> [mm]v'(x)=(u(x)^2-1)v(x))[/mm]
> V ist eine Lyapunovfunktion, wenn
> V(0,0)=0 offensichtlich erfüllt
> V(x,y)>0 für (x,y) in einer Umgebung [mm]U\(0,0)[/mm] von (0,0)
> auch offensichtlich erfüllt
> [mm]V°(x,y)=V'(x,y)*f(x)\le0[/mm] für [mm]x\in[/mm] U
>
> wobei f(x) die Vorschrift: x'(t)=f(x(t)) ist
>
> beim letzten habe ich ein ptoblem:
> ich soll da zeigen, dass:
> [mm]4u^3(v^2-u^3)+2v^2(u^2-1)\le0[/mm]
>
> ist und komme da irgendwie nicht weiter, gibt es da
> irgendeinen Trick habe ich vielleicht eine sehr einfache
> Formel nicht mehr im Kopf oder hat vielleicht jemand eine
> IDee wie man mir da helfen könnte?
Du musst nur systematisch untersuchen, für welche Werte von u und v die beiden Summanden $<0$ sind. Zum Beispiel ist für $u<0$ der Term [mm] $4u^3(v^2-u^3)<0$ [/mm] und [mm] $2v^2(u^2-1)<0$ [/mm] für $-1<u<+1$. Nimm doch einfach mal an, dass $-1/2<u<1/2$ und schaue, ob du damit eine Umgebung konstruieren kannst !
Viele Grüße
Rainer
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