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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Mo 27.11.2017 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{NxN} [/mm] eine M-Matrix. Zeige:
a) Sei v [mm] \in \IR^{N} [/mm] ein Vektor mit Av [mm] \ge [/mm] 0, dann folgt v [mm] \ge [/mm] 0.
b) Seien [mm] v_{1}, v_{2} \in \IR^{N} [/mm]
Vektoren mit [mm] |Av_{1}| \le Av_{2} [/mm] , dann folgt [mm] |v_{1}| \le v_{2}.
[/mm]
[mm] "\le", "\ge" [/mm] und "|.|" sind komponentenweise zu verstehen! |
Eine M-Matrix haben wir folgendermaßen definiert:
i) [mm] A_{ii} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i=1,...,N und [mm] A_{ij} \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] i [mm] \not= [/mm] j
ii) det(A) [mm] \not= [/mm] 0
iii) [mm] A^{-1} \ge [/mm] 0
Meine Fragen:
a) Da ich annehmen kann, dass eine inverse existiert, reicht es einfach Av [mm] \ge [/mm] 0 mit der inversen zu multiplizieren?
b) Hier bin ich etwas ratlos. Wenn ich die Gleichung mit der inversen multipliziere, steht auf der rechten Seite schon einmal das richtige. Ich weiß allerdings nicht wie ich den Betrag bei [mm] A^{-1}|Av_{1}| \le v_{2} [/mm] handhaben soll.
[mm] |Av_{1}| [/mm] kann man ja auch als einen Vektor [mm] \in \IR^{N} [/mm] mit Summen interpretieren. Den Betrag einer Summe, könnte man mit der Dreiecksungleichung umformen, wobei ich nicht weiß wie mir das helfen soll.
Bitte um Rat!
Beste Grüße
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> Sei A [mm]\in \IR^{NxN}[/mm] eine M-Matrix. Zeige:
>
> a) Sei v [mm]\in \IR^{N}[/mm] ein Vektor mit Av [mm]\ge[/mm] 0, dann folgt v
> [mm]\ge[/mm] 0.
> b) Seien [mm]v_{1}, v_{2} \in \IR^{N}[/mm]
> Vektoren mit [mm]|Av_{1}| \le Av_{2}[/mm] , dann folgt [mm]|v_{1}| \le v_{2}.[/mm]
>
> [mm]"\le", "\ge"[/mm] und "|.|" sind komponentenweise zu verstehen!
> Eine M-Matrix haben wir folgendermaßen definiert:
>
> i) [mm]A_{ii}[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] i=1,...,N und [mm]A_{ij} \le[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] i
> [mm]\not=[/mm] j
> ii) det(A) [mm]\not=[/mm] 0
> iii) [mm]A^{-1} \ge[/mm] 0
>
> Meine Fragen:
>
> a) Da ich annehmen kann, dass eine inverse existiert,
> reicht es einfach Av [mm]\ge[/mm] 0 mit der inversen zu
> multiplizieren?
Ja, [mm]v=A^{-1}Av\ge 0[/mm] folgt aus [mm]A^{-1}\ge 0[/mm] und [mm]Av\ge 0[/mm].
>
> b) Hier bin ich etwas ratlos. Wenn ich die Gleichung mit
> der inversen multipliziere, steht auf der rechten Seite
> schon einmal das richtige. Ich weiß allerdings nicht wie
> ich den Betrag bei [mm]A^{-1}|Av_{1}| \le v_{2}[/mm] handhaben soll.
>
> [mm]|Av_{1}|[/mm] kann man ja auch als einen Vektor [mm]\in \IR^{N}[/mm] mit
> Summen interpretieren. Den Betrag einer Summe, könnte man
> mit der Dreiecksungleichung umformen, wobei ich nicht weiß
> wie mir das helfen soll.
>
> Bitte um Rat!
(b) folgt, indem du (a) auf [mm]v_2-v_1[/mm] und [mm]v_2+v_1[/mm] anwendest (d.h. du zeigt [mm]v_1\le v_2[/mm] und [mm]-v_1\le v_2[/mm]).
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> Beste Grüße
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