MC - partiell diff'barkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | | Eine einmal partiell differenzierbare Funktion ist auch zweimal partiell differenzierbar. |
Hallo, sehe ich es richtig, dass es sich hier vom Prinzip um einen ähnlichen Fall handelt, wie bei der Frage:
(Eine stetige und partiell differenzierbare Funktion ist stetig partiell differenzierbar.)
Also, wenn ich eine Funktion [mm] \(f(x,y)=x+y [/mm] habe, kann ich sie nur 1mal partiell nach x (oder y) ableiten?
Also ist die Aussage falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Sa 22.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist mit partieller Ableitung nicht anders, als mit einfachen 1d Funktionen, natürlich ist der Satz falsch, allerdings dein Bsp f(x,y)=x+y ist beliebig oft differenzierbar, die konstante fkt ist doch differenzierbar, auch wenn die Konstante 0 ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
hmm, könntest du mir ein Bsp. für eine Funktion geben, die einmal partiell diff'bar ist, aber keni zweites Mal?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Marcel |
[red]Editiert!![red]
Hallo,
> hmm, könntest du mir ein Bsp. für eine Funktion geben,
> die einmal partiell diff'bar ist, aber keni zweites Mal?
nimm' doch ganz trivial (bzgl. des Zusammenhangs mit 1D-Funktionen)
f(x,y):=x*sin(1/x) für x [mm] \not=0 [/mm] mit f(0,y):=0 für $y [mm] \in \IR$\,.
[/mm]
Edit: Das (jetzt durchgestrichene ) Beispiel ist falsch, obige Funktion
wäre in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] auch nicht partiell nach [mm] $x\,$ [/mm] diffbar gewesen!
Manchmal muss man sich die Sachen doch selbst nochmal hinschreiben...
Nimm' also [mm] $f(x,y):=x*|x|\,,$ [/mm] das passt dann!
Wie gesagt: Vollkommen analog zum 1D-Fall kann man sich klarmachen,
dass bei der Funktion [mm] $\partial^2 f(x,y)/\partial x^2$ [/mm] nicht (auf ganz
[mm] $\IR^2$) [/mm] existiert - weil etwa
[mm] $$\partial^2 f(0,0)/\partial x^2$$
[/mm]
nicht existieren kann.
Aber [mm] $\partial f(x,y)/\partial [/mm] x$ und [mm] $\partial f(x,y)/\partial [/mm] y$ existieren (auf ganz [mm] $\IR^2$)!
[/mm]
P.S.
Noch "einfacher" wäre vielleicht auch
$$f(x,y):=x*|x|$$
zu betrachten!
Alternativ:
Nimm' [mm] $f(x,y):=x^\red{2}*\sin(1/x)$ [/mm] mit [mm] $f(0,y):=0\,.$ [/mm] Beide ersten
partiellen Ableitungen existieren, aber die erste partielle Ableitung nach
[mm] $x\,$ [/mm] ist nicht stetig (unstetig etwa in [mm] $(0,0)\,$), [/mm] damit ist [mm] $f\,$ [/mm] erst recht
nicht zweimal partiell diff'bar nach [mm] $x\,$!!
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 22.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \\ +x^2, & \mbox{für } x\ge 0\end{cases}
[/mm]
kombiniert mit irgendwelchen fkt von y
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \\ +x^2, & \mbox{für } x\ge 0\end{cases}[/mm]
das ist das gleiche wie bei bei mir (Dein [mm] $f\,$ [/mm] kann man schreiben als [mm] $f(x):=x*|x|\,$) [/mm]
- außerdem macht's so keinen Sinn, denn es gibt keine zweite Variable.
Natürlich werden die meisten wissen, wie Du das meinst, aber gerade
jemand, der nicht selbst auf sowas kommt, wird das nicht mal so nebenher
erraten, wie Du das meinst - sinnvollerweise könnte man das so andeuten:
[mm] $$f(x,y)=\begin{cases} -x^2+..., & \mbox{für } x<0 \\ +x^2+..., & \mbox{für } x\ge 0\end{cases}$$
[/mm]
> kombiniert mit irgendwelchen fkt von y
anstelle der ... - ABER:
Das wäre schon falsch, wenn ich
$$f(x,y):=x*|x|+|y|$$
(oder [mm] $f(x,y):=x*|x|+y*\sin(1/y) \text{ für }y \not=0$ [/mm] und $f(x,0):=0$)
setze. "Irgendwelche" Funktionen von [mm] $y\,$ [/mm] meinst Du
nicht, da gibt's schon noch eine zu erfüllende Bedingung...
P.S.
@ Tony:
So ganz Unrecht hat Leduart eigentlich doch nicht - ich meine, wir denken
bei partieller Diff'barkeit automatisch an mehrere Variablen. Aber die
Funktion
$$f: [mm] \IR \to \IR \text{ mit }f(x):=x*|x|$$
[/mm]
ist ja auch eine Funktion, die partiell diff'bar ist - da ist die partielle
Ableitung zwar die gewöhnliche 1D Ableitung, aber das ändert ja nix!
(Warum also mehrdimensional denken und argumentieren, wenn wir
uns auf eindimensionales beschränken können?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
