MWS der Differentialrechnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
[mm] \wurzel[n]{1+h}\le 1+\bruch{1}{n}*h, [/mm] h>0
für [mm] n\in\IN [/mm] und leiten Sie daraus eine obere Schranke für [mm] \wurzel[3]{3,1} [/mm] her |
Meine Lösung dazu lautet wie folgt:
[mm] f(1+h)=\wurzel[n]{1+h} [/mm]
[mm] f'(1+h)=\bruch{1}{n}*(1+h)^{\bruch{1}{n}-1}
[/mm]
Sei a=1, b=1+h und [mm] \mu\in(1,1+h) [/mm] dann folgt aus MWS
[mm] f'(\mu)=\bruch{1}{n}*(\mu)^{\bruch{1}{n}-1}=\bruch{\wurzel[n]{1+h}-1}{h}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\bruch{h}{n}*(\mu)^{\bruch{1}{n}-1}+1=\wurzel[n]{1+h}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{1+h}=1+\bruch{h}{n}*(\mu)^{\bruch{1}{n}-1}\le1+\bruch{h}{n}
[/mm]
Sei n=3 // da in Angabe dritte Wurzel verlangt ist
[mm] \wurzel[3]{3,1}=\wurzel[3]{1+2,1}=1+\bruch{2,1}{3}*(\mu)^{-\bruch{2}{3}}\le1+\bruch{2,1}{3}=1,7
[/mm]
Problem bzw Frage die ich habe ist, dass 1,7 doch sehr weit (ca 0,24) von dem Funktionswert [mm] \wurzel[3]{3,1} [/mm] entfernt ist
Ist meine Rechnung falsch oder kann das trotzdem stimmen? Eig ist 1,7 ja keine obere Schranke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Do 07.05.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
Leider in falsches Forum gestellt
Müsste eig zu Mathematik Hochschule
Kann man das jetzt iwie noch ändern?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Do 07.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Martin_Ph!
Du selbst kannst Threads nicht verschieben, aber Moderatoren haben diese Möglichkeit.
Ich habe ihn nun in den Hochschul-Bereich verschoben.
Viele Grüße
Tobias
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Hiho,
dein Beweis ist völlig in Ordnung.
> Problem bzw Frage die ich habe ist, dass 1,7 doch sehr weit (ca 0,24) von dem Funktionswert [mm]\wurzel[3]{3,1}[/mm] entfernt ist
Warum sollte das ein Problem ist?
> Eig ist 1,7 ja keine obere Schranke
Natürlich ist 1,7 eine obere Schranke, warum sollte es das nicht sein?
Ebenso ist 100 eine obere Schranke oder [mm] 10^{10^{10}}
[/mm]
Gruß,
Gono
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Naja dachte einfach dass das zu weit vom eigentlichen Funktionswert von [mm] \wurzel[3]{3.1} [/mm] entfernt ist, da bei einem Beispiel des Professors die hergeleitete obere Schranke ziemlich genau der Funktionswert ist.
Also kann mir das eig egal sein wie weit das davon entfernt ist?
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Hiho,
> Naja dachte einfach dass das zu weit vom eigentlichen
> Funktionswert von [mm]\wurzel[3]{3.1}[/mm] entfernt ist, da bei
> einem Beispiel des Professors die hergeleitete obere
> Schranke ziemlich genau der Funktionswert ist.
Eine obere Schranke ist eben leider nur eine "obere Schranke", d.h. eine Aussage darüber, wie groß der Wert maximal ist. Der kann genauer oder schlechter sein.
> Also kann mir das eig egal sein wie weit das davon entfernt ist?
Später stellt man sich durchaus die Frage, wie gut eine obere Schranke ist, aber: Die von dir berechnete obere Schranke ist die, die sich aus der Aufgabe ergibt. Und mehr solltest du nicht machen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
Alles klar
Dankeschön fürs drüber gucken und die Erklärung :)
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