M(f,v,w) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 29.04.2009 | | Autor: | csak1162 |
f ist Funktion von V nach W
und v Basis von V und w Basis von W
M(f,v,w) =: A
w = Standardbasis
Bestimme die Matrix M(f,v,w) bzgl. der Standardbasis (ich verstehe nicht was gemeint ist) wie rechne ich das aus??????
was ist der Unterscheid zu M(f,v), M(f,w)
Konkretes Bsp.
Es seien f: R -> R; x [mm] \mapsto [/mm] x² +2x + 3, g: R -> R; [mm] \mapsto [/mm] x² -2x +2 ,
und V:= <f,g> sei der von diesen zwei Plynomfunktionen erzeugte relle UVR von F(sollte so ein geschw. F sein)(R,R). Sei A: V ->R²; h [mm] \mapsto [/mm] (h(1),h(2)).
a) Zeige: h ist linear (ich weiß was linear bedeutet, aber nicht wie ich es rechne)
b) Zeige (f,g) ist eine Basis (weiß nicht ob das stimmt, habe geschaut ob (3,2,1) und (2,-2-1) lin unabhängig)
c) Bestimmen Sie die Matrix M(A , (f,g), (e1,e2)) der FUnktion h bzgl. der Basis (e1, e2) von R². (keine Ahnung wie das geht, bitte erklären danke)
d) Zeigen Sie das A bijektiv ist und berechnen Sie das Urbild von (1,1)
(muss ich dann nicht schauen ob matrix invertierbaar???, Urbild Umkehrfunktion irgendwas, aber wie rechne ich die aus?????)
bitte helfen
danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 29.04.2009 | | Autor: | csak1162 |
Kann es sein dass die Frage a lauten müsste
a) Zeige: A ist linear
h ist ja keine Funktion oder????
glg danke
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> Kann es sein dass die Frage a lauten müsste
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> a) Zeige: A ist linear
Hallo,
ja, das ist ein Druckfehler. Es ist die Linearität von A zu zeigen.
> h ist ja keine Funktion oder????
h ist ein Polynom aus dem von f und g erzeugten Unterraum V.
Gruß v. Angela
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> f ist Funktion von V nach W
> und v Basis von V und w Basis von W
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> M(f,v,w) =: A
>
> w = Standardbasis
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> Bestimme die Matrix M(f,v,w)
Hallo,
die Bezeichnungen sind leider sehr uneinheitlich, aber ich bin mir sicher, daß dies so gemeint ist:
M(f,v,w) bezeichnet die darstellende Matrix der linearen Abbildung f: [mm] V\to [/mm] W bzgl der Basen v (in V) und w (in W).
Man erhält diese Matrix, indem man in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von v in Komponenten bzgl. w stellt.
> bzgl. der Standardbasis (ich
> verstehe nicht was gemeint ist) wie rechne ich das
> aus??????
Das hieß bestimmt "Standardbasen", denn wir haben es hier je mit zwei Basen zu tun.
Die Standardbasis ist immer die einfachste, naturliche Basis des Vektorraumes.
>
> was ist der Unterscheid zu M(f,v), M(f,w)
Ich nehme mal an, daß diese Bezeichnungen abkürzend für M(f,v,v), M(f,w,w ) stehen, daß man also in Start- und Zielraum dieselbe Basis hat.
>
>
> Konkretes Bsp.
>
> Es seien f: R -> R; x [mm]\mapsto[/mm] x² +2x + 3, g: R -> R;
> [mm]\mapsto[/mm] x² -2x +2 ,
> und V:= <f,g> sei der von diesen zwei Plynomfunktionen
> erzeugte relle UVR von F(sollte so ein geschw. F
> sein)(R,R). Sei A: V ->R²; h [mm]\mapsto[/mm] (h(1),h(2)).
>
> a) Zeige: h ist linear (ich weiß was linear bedeutet, aber
> nicht wie ich es rechne)
Wie bereits festgestellt: die Linearität von A ist zu zeigen durch Vorrechnen der Linearitätsbedingung.
Nimm Dir zwei Funktionen [mm] h_1, h_2 [/mm] aus V, sie haben die Gestalt [mm] h_1:=a_1f+b_1g [/mm] , [mm] h_2:=a_2f+b_2g [/mm] und rechne [mm] A(h_1 +h_2)= .A(h_1)+A(h_2) [/mm] und [mm] A(\lambda h_1)=\lambda A(h_1) [/mm] unter Anwendung der Definitionen vor.
> b) Zeige (f,g) ist eine Basis (weiß nicht ob das stimmt,
> habe geschaut ob (3,2,1) und (2,-2-1) lin unabhängig)
Ja, Du kannst das so machen. Die von Dir verwendeten Vektoren sind die Koordinatenvektoren bzgl. der Standardbasis des raumes der reellen Polynome vom Höchstgrad 2 - falls Du vorrechnen mußt, könnte es gut sein, sich dessen bewußt zu sein.
Ansonsten kannst Du die lineare Unabhjängigkeit auch zeigen durch Anwenden der entsprechenden Def und Koeffizientenvergleich.
>
> c) Bestimmen Sie die Matrix M(A , (f,g), (e1,e2)) der
> FUnktion h bzgl. der Basis (e1, e2) von R². (keine Ahnung
> wie das geht, bitte erklären danke)
Du sollst also die darstellende Matrix von A angeben bzgl der Basis (f,g) von V und der Standardbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Das geht so:
berechne Af und Ag, da Du die Ergebnisse bereits in Koordinaten bzgl der Standardbasis erhältst, mußt Du einfach diese Ergebnisse als Spalten Deiner Matrix nehmen.
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> d) Zeigen Sie das A bijektiv ist und berechnen Sie das Urbild von (1,1)
(muss ich dann nicht schauen ob matrix invertierbaar???, Urbild Umkehrfunktion irgendwas, aber wie rechne ich die aus?????)
Genau, Invertierbarkeit prüfen. Dann die invertierte Matrix auf auf (1,1) loslassen.
Über die Bedeutung des Ergebnisses mußt Du dann noch kurz nachdenken - bedenke dabei, daß es ein Koordinatenvektor bzgl. (f,g) ist.
Gruß v. Angela
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