Mac Laurin+konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mo 12.07.2010 | | Autor: | tronix |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt Null und geben sie den Konvergenzradius an
a) f(x)= [mm] \bruch {1}{(1+x)^2}
[/mm]
b) f(x)= [mm] \bruch{ln(1+x)}{1+x}
[/mm]
c) f(x)= [mm] e^{sinx} [/mm] |
so zu aufgabenteil a hab ich
1.ableitungen gebildet
[mm] y'=\bruch{-2}{(1+x)^3} [/mm]
wobei ich mir hier nich ganz sicher bin weil ich die ableitung von [mm] (1+x)^2 [/mm] so gemacht habe [mm] (1+x)^2=> 2(1+x)^1*1 [/mm] ich weiß nicht ob das stimmt falls nicht is logischerweise alles was danach kommt ebenfalls falsch
[mm] y''=\bruch{6}{(1+4)^3}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{-24}{(1+x)^5}
[/mm]
2.faktorbildungsgesetzt bestimmen
was mich dann als bildungsgesetzt für den faktor auf
[mm] (-1)^{n+1}*n! [/mm] führt in die ausgangsformel
3.einsetzten
[mm] \bruch{1}{n!}*x^n [/mm] eingesetzt komme ich dann auf
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}x^n [/mm]
so damit hab ich dann den kovergenzbereich folgendermaßen berechnet
[mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{(-1)^{n+2}}=\bruch{-1}{1}=> [/mm] r = 1
gibt mir dann für
[mm] x1=x_o+r=1
[/mm]
und
[mm] x2=x_0-r=-1
[/mm]
in die ausgangsgleichung eingesetzt
ergibt sich dann
[mm] (-1)^{n+1}*(1)^n [/mm] was mir dann eine alternierende reihe mit dem wert 1 gibt die dann nach dem trivialkriterium divergiert da sie keine nullfolge ist daselbe gilt auch für x2 da sie sich dann nur in ihrem vorzeichen unterscheiden damit ist der kovergenzbereich das intervall
(-1;1) ist das soweit richtig oder hab ich rigendwo fehler gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 12.07.2010 | | Autor: | tronix |
mh ok ich versteh jetzt nich warum meine formel für das bildungsgesetzt nich gehen soll wenn ich da zahlen zum versuchen einsetzt klappts doch da wäre eine erklärung ganz nett
und auf
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}x^n
[/mm]
bin ich durch
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}\cdot{}n!}{n!}*x^n
[/mm]
gekommen
so das zu meinem und wenn ich nun deine bildungsformel in taylor einsetzte krieg ich folgendes
[mm] \bruch{(-1)*(n+1)!}{n!}*x^n
[/mm]
was man auch schreiben kann als
[mm] \bruch{(-1)*n!(n+1)}{n!}*x^n
[/mm]
gibt dann
[mm] (-1)*(n+1)*x^n [/mm] ist das richtig??
Bedenke, dass du innerhalb des Konvergenzgebietes, also für |x|<1 gliedweise differenzieren kannst.
Was weißt du dann auch über den Konvergenzradus der Ableitung?
die ableitung einer funktion innerhalb ihres konvergenz radius hat als kovergenzradius den selben wie die stammfunktion??!
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Hallo nochmal,
> mh ok ich versteh jetzt nich warum meine formel für das
> bildungsgesetzt nich gehen soll wenn ich da zahlen zum
> versuchen einsetzt klappts doch da wäre eine erklärung
> ganz nett
>
> und auf
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}x^n[/mm]
Nein, daran sind 2 Dinge falsch.
Zum einen fehlt das $n!$ im Nenner (siehe Taylorformel oben)
Zum anderen funktioniert dein Bildungsgesetz für [mm] $f^{(n)}(0) [/mm] nicht richtig, da ist ein Vorzeichen "verschoben":
für $n=0$ ist [mm] $f^{(0)}(0)=f(0)=\frac{1}{(1+0)^2}=\red{1\neq} (-1)^{0+1}\cdot{}0!=\red{-1}$
[/mm]
Wenn du das anpasst, so dass es ab n=0 klappt, kommst du auf [mm] $f^{(n)}(0)=(-1)^n\cdot{}(n+1)!$
[/mm]
Probe: $n=0$: [mm] $f^{(0)}(0)=f(0)=1=(-1)^0\cdot{}1!\checkmark$
[/mm]
$n=1$: [mm] $f'(0)=-2=(-1)^1\cdot{}2!\checkmark$
[/mm]
$n=2$: [mm] $f''(0)=6=(-1)^2\cdot{}3!\checkmark$
[/mm]
usw.
>
> bin ich durch
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}\cdot{}n!}{n!}*x^n[/mm]
>
> gekommen
>
> so das zu meinem und wenn ich nun deine bildungsformel in
> taylor einsetzte krieg ich folgendes
>
>
> [mm]\bruch{(-1)^{\red{n}}*(n+1)!}{n!}*x^n[/mm]
>
> was man auch schreiben kann als
>
>
> [mm]\bruch{(-1)^{\red{n}}*n!(n+1)}{n!}*x^n[/mm]
>
> gibt dann
>
> [mm](-1)^{\red{n}}*(n+1)*x^n[/mm] ist das richtig??
Das sieht gut aus, mache doch mal die Probe, ob du mit der anderen Variante über die Ableitung der Reihe [mm] $\sum (-1)^{n+1}\cdot{}x^n$ [/mm] auch dorthin kommst ...
>
>
>
> Bedenke, dass du innerhalb des Konvergenzgebietes, also
> für |x|<1 gliedweise differenzieren kannst.
>
> Was weißt du dann auch über den Konvergenzradus der
> Ableitung?
>
> die ableitung einer funktion innerhalb ihres konvergenz
> radius hat als kovergenzradius den selben wie die
> stammfunktion??!
Ja, der bleibt 1, also Konvergenz für $|x|<1$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
so hier hab ich jetzt ne weile versucht und bin nicht wirklich weiter gekommen mir würde jetzt nur noch der weg über die zerlegung der funktion weiterhelfen aber da weiß ich dann nicht genau wie ich vorgehen soll
[mm] y_1=ln(1+x)
[/mm]
[mm] Y_2=\bruch{1}{1+x}
[/mm]
für [mm] y_2 [/mm] is mir klar wie ich da weiter machen muss aber für [mm] y_1 [/mm] wills einfach nich klingeln muss ich da auch einfach die ableitungen bilden gucken wie sich der faktor zusammensetze und dann die beiden faktorenbildungsgesetzt in die mac laurinsche formel einsetzen ?? wenn mir da mal einer nen hinweis zu geben könnte das wäre echt nett danke schonmal
also um genau zu sein die ableitungen sind mir klar mir ist nur das wieder zusammensetzten zu einem ausdruck für die potenzreihe nicht ganz klar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> so hier hab ich jetzt ne weile versucht und bin nicht
> wirklich weiter gekommen mir würde jetzt nur noch der weg
> über die zerlegung der funktion weiterhelfen aber da weiß
> ich dann nicht genau wie ich vorgehen soll
>
>
> [mm]y_1=ln(1+x)[/mm]
>
> [mm]Y_2=\bruch{1}{1+x}[/mm]
>
> für [mm]y_2[/mm] is mir klar wie ich da weiter machen muss aber
> für [mm]y_1[/mm] wills einfach nich klingeln muss ich da auch
> einfach die ableitungen bilden gucken wie sich der faktor
> zusammensetze und dann die beiden faktorenbildungsgesetzt
> in die mac laurinsche formel einsetzen ?? wenn mir da mal
> einer nen hinweis zu geben könnte das wäre echt nett
> danke schonmal
> also um genau zu sein die ableitungen sind mir klar mir ist
> nur das wieder zusammensetzten zu einem ausdruck für die
> potenzreihe nicht ganz klar
Es ist
[mm] $y_1'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$
[/mm]
also ist
[mm] $y_1(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{n+1}}{n+1}$
[/mm]
Mit
[mm] $y_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$
[/mm]
ist
$ [mm] \bruch{ln(x+1)}{1+x}= (\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{n+1}}{n+1})*(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n)$
[/mm]
Jetzt Cauchyprodukt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok wenn ich das mit dem cauchy produkt richtig verstehe muss ich nun folgendes rechnen
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{k+1}}{k+1})\cdot{}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-k}x^{n-k})
[/mm]
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok wenn ich das mit dem cauchy produkt richtig verstehe
> muss ich nun folgendes rechnen
>
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{x^{k+1}}{k+1})\cdot{}(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-k}x^{n-k})[/mm]
>
> ist das richtig?
nein, das ist Unfug !
mach Dich nochmal schlau:
Sind
$A= [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] und $B= [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt
$A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n$, [/mm] mit [mm] $c_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
mh ok hab jetzt einfach mal streng nach dem beipiel von
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel
eingesetzt und nun sollte es stimmen oder???
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}((-1)^k\bruch{x^{k+1}}{k+1})\cdot{}((-1)^{n-k}x^{n-k})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Es stimmt nicht
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:58 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
in dem fall bräuchte ich netterweise mal die lösung meines beispiels damit ich sehen kann wie es nun richtig aussehen soll
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Hallo,
> in dem fall bräuchte ich netterweise mal die lösung
> meines beispiels damit ich sehen kann wie es nun richtig
> aussehen soll
Machen wir's umgekehrt.
Zeige uns mal deine Rechenschritte statt immer nur fertige Ergebnisse.
Schließlich wollen wir nicht rechnen, nur kontrollieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
na mein problem ist doch ganz einfach das ich nicht weiß wie ich das cauchy produkt bilden soll ich hab halt versucht mit dem was ich oben schon gesagt gekriegt habe meins in diese form hier
[mm] (a_n) \cdot (b_n) [/mm] = [mm] (c_n) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n, [/mm] mit [mm] c_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}} [/mm]
wobei
[mm] a_n =(-1)^n\bruch{x^{n+1}}{n+1}
[/mm]
und
[mm] b_n= (-1)^nx^n
[/mm]
sein soll
und dann hab ich stur versucht
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel
dieses beispiel nach zumachen für [mm] a_n [/mm] alle n mit k ersetzen und für [mm] b_n [/mm] alle n mit n-k ersetzen
aber die beiden varianten die ich mir dazu gedacht habe waren beide falsch also ist ja irgendwie offensichtlich das ich nicht weiß wie ichs schreiben soll folglich kann ich euch dazu auch nichts hinschreiben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> na mein problem ist doch ganz einfach das ich nicht weiß
> wie ich das cauchy produkt bilden soll ich hab halt
> versucht mit dem was ich oben schon gesagt gekriegt habe
> meins in diese form hier
>
> [mm](a_n) \cdot (b_n)[/mm] = [mm](c_n)[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^\infty c_n,[/mm] mit [mm]c_n[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}[/mm]
>
>
> wobei
>
> [mm]a_n =(-1)^n\bruch{x^{n+1}}{n+1}[/mm]
> und
> [mm]b_n= (-1)^nx^n[/mm]
>
> sein soll
> und dann hab ich stur versucht
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel
>
> dieses beispiel nach zumachen für [mm]a_n[/mm] alle n mit k
> ersetzen und für [mm]b_n[/mm] alle n mit n-k ersetzen
>
> aber die beiden varianten die ich mir dazu gedacht habe
> waren beide falsch also ist ja irgendwie offensichtlich das
> ich nicht weiß wie ichs schreiben soll folglich kann ich
> euch dazu auch nichts hinschreiben
mit Deiner obigen Wahl von [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] ist (nachrechnen !)
[mm] $a_k*b_{n-k}= \bruch{(-1)^n* x^{n+1}}{k+1}$
[/mm]
Setzen wir [mm] $s_n:=1+1/2+1/3+ ...+\bruch{1}{n+1}$
[/mm]
so ist
[mm] $c_n= (-1)^n*s_n*x^{n+1}$
[/mm]
und damit
[mm] $\bruch{ln(1+x)}{1+x}= \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*s_n*x^{n+1}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 Di 13.07.2010 | | Autor: | tronix |
also
[mm] (-1)*\bruch{x^{k+1}}{k+1}*(-1)^{k-n}*x^{n-k}
[/mm]
[mm] =\bruch{(-1)^k*x^k*x^1*(-1)^n*x^n}{K+1*(-1)^k*x^k}
[/mm]
[mm] =>\bruch{(-1)^n*x^{n+1}}{k+1}
[/mm]
versteh ich das jetzt richtig das im nenner einfach kein k+1 mehr stehen darf und das also
der teil
Setzen wir [mm] s_n:=1+1/2+1/3+ ...+\bruch{1}{n+1}
[/mm]
so ist
[mm] c_n= (-1)^n\cdot{}s_n\cdot{}x^{n+1}
[/mm]
eine umformung ist um dieses k+1 wegzubekommen? weil ansonsten kann ich mit der nichts anfangen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
