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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x}) [/mm] in eine Mac Laurinsche Reihe bis zur 5.Potenz. |
Hallo,
ich habe nur eine Frage und zwar wie ich den Kovergenzbereich bestimmen kann?
Erstmal die Potenzreihe von f(x):
[mm] f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x})=2x+\bruch{2}{3}x^{3}+\bruch{2}{5}x^{5}+...=2(\bruch{x}{1}+\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{5}}{5}+...)
[/mm]
allgemein die Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}x^{2n+1}
[/mm]
Für den Konvergenzbereich braucht man doch zunächst den Konvergenzradius:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2n+1} [/mm] , [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2(n+1)+1}=\bruch{1}{2n+3}
[/mm]
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2n+1}}{\bruch{1}{2n+3}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2n+3}{2n+1}|=1
[/mm]
Was muss ich weiter tun, um den Konvergenzbereich zu bestimmen, falls das bisher überhaupt richtig war?
Danke vorab.
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Hallo monstre123,
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x})[/mm] in
> eine Mac Laurinsche Reihe bis zur 5.Potenz.
> Hallo,
>
> ich habe nur eine Frage und zwar wie ich den
> Kovergenzbereich bestimmen kann?
>
> Erstmal die Potenzreihe von f(x):
>
> [mm]f(x)=ln(\bruch{1+x}{1-x})=2x+\bruch{2}{3}x^{3}+\bruch{2}{5}x^{5}+...=2(\bruch{x}{1}+\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{5}}{5}+...)[/mm]
>
> allgemein die Potenzreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n+1}}{2n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1}x^{2n+1}[/mm]
Hier fehlt jeweils der Faktor 2!
Richtig: [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\cdot{}x^{2n+1}[/mm]
>
> Für den Konvergenzbereich braucht man doch zunächst den
> Konvergenzradius:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{2n+1}[/mm] ,
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2(n+1)+1}=\bruch{1}{2n+3}[/mm]
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2n+1}}{\bruch{1}{2n+3}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2n+3}{2n+1}|=1[/mm]
Das stimmt! (Der fehlende Faktor 2 kürzt sich ja weg)
Allerdings ist hier dieses QK mit Vorsicht zu genießen, wenn [mm]a_n\neq 0[/mm] ist, so ist doch [mm]a_{n+1}=0[/mm] (bei ungeradem n) oder andersherum.
Und Division durch 0 ist keine gute Idee!
Nichtsdestotrotz ist 1 der Konvergenzradius!
Berechne ihn besser mit Cauchy-Hadamard.
>
> Was muss ich weiter tun, um den Konvergenzbereich zu
> bestimmen, falls das bisher überhaupt richtig war?
Schreibe die Reihe als [mm]x\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\cdot{}\left(x^2\right)^n[/mm]
Dann hast du mit der obigen Rechnung Konvergenz für [mm]\left|x^2\right|=|x|^2<1[/mm], also für [mm]|x|<1[/mm]
Wenn du übrigend die Logarithmusreihe für [mm]\ln(1+x)[/mm] kennst, kannst du dir viel Rechnerei ersparen, wenn du bedenkst, dass [mm]\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x)[/mm] ist.
So habe ich die Formel für die Reihe hergeleitet (bzw. kontrolliert)
>
> Danke vorab.
Gruß
schachuzipus
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