Mächtigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 06.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich beschäftige mich im Moment mit Mächtigkeit und bijektiven Abbildungen und Abbildungen allgemein. Mäcchtigkeit und unendliche Mengen hängen ja zusammen!
Nun meine Frage: Warum ist die Menge Z abzählbar??? Laut den dazugehörigen Definitionen für den Begriff der "Abzählbarkeit" und dem Begriff der "Gleichmächtigkeit" die da lauten:
Zwei Mengen A und B heißten gleichmächtig wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt.
Eine Menge M heißt "abzählbar" wenn die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig zu M ist.
So und nun habe ich logischerweise gefolgert:
Ist Z abzählbar, so muss laut Definition [mm] \IN [/mm] gleichmächtig zu Z sein. Wenn beide Mengen aber gleichmächtig sind, dann muss es lauter nächster Definition eine bijektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach Z geben. Und da sehe ich beim besten Willen keine bijetive Abbildung, die also gleichzeitig surjektiv und injektiv ist.
Genau das selbe gilt für die Menge Q. Ich habe zwar den "Cantorschen Diagonalbeweis" durchgemacht und habe es auch verstanden, aber ich bin mir eben nicht so ganz sicher, ob ich da nicht irgendwas verwechsel bei den Begrifflichkeiten, wie sie definiert sind und wie sie verstanden werden sollen.
Ich meine, damit eine Abbildung bijektiv ist, muss es zwischen den Elementen der beiden Mengen eine eindeutige Zuordnung geben, und zwar in beiden Richtungen, aber wo gibt es denn eine eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von [mm] \IN [/mm] und den Elementen der Menge Z. Z enthält doch auch alle negativen ganzen Zahlen, also kann ich doch gar nicht den Sachverhalt der Surjektivität garantieren, da ich doch überhautpt keine Funktion oder Abbildung finden kann, so dass die Gleichung für f(x)=y für jedes y aus der Menge Z lösbar ist. Das heißt für jedes Element aus Z muss es doch ein x geben, das in [mm] \IN [/mm] liegt, sonst wäre die Gleichung doch nicht lösbar!?? Das verstehe ich nämlich laut Definition und dem Begriff "surjektiv". Oder nehme ich diese Definition zu genau und verstehe es deshalb nicht. Ich kann einfach die Definition und die Logik und auch das Verständnis dafür wie gezeigt wird das die Menge Z oder auch die Menge Q abzählbar ist, nicht unter einen Hut bringen. Hört sich vielleicht blöd an, ist aber so.
Ich sitz da schon seit stunden dran und versuch es mir irgendwie zu erklären und habe auch schon nach Funktionen gesucht, die von [mm] \IN [/mm] auf Z surjektiv sein könnten, aber ich habe nichts gefunden.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen und mal ein bisschen Licht ins Dunkel bringen!
Vielen Dank und Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 06.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich glaube jetzt habe ich es selbst aufgelöst.
Wenn eine Abbildung zwischen zwei Mengen bijektiv ist, dann existiert ja auch immer die Umkehrabbbildung. Das heißt ist die Abbildung von A nach B bijektiv ist sie auch von B nach A injektiv. Das würde aber bei meinem Problem heißen. Ist also Z und N gleichmächtig so existiert laut Definition eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen. Das heißt aber auch das eine Abbildung nicht nur von N nach Z existieren muss, sondern auch von Z nach N und da ist es ja nicht schwierig laut Definition eine Abbildung zu finden, die surjektiv und injektiv ist. Z.B. wäre doch die Abbildung f(x)=x bijektiv von Z nach N oder täusche ich mich da???
Wenn dem so ist, hat sich mein Problem damit erledigt, wenn nicht, dann könnt ihr ja trotzdem meine eigentliche Frage beantworten.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo clwoe,
> ich glaube jetzt habe ich es selbst aufgelöst.
> Wenn eine Abbildung zwischen zwei Mengen bijektiv ist,
> dann existiert ja auch immer die Umkehrabbbildung. Das
> heißt ist die Abbildung von A nach B bijektiv ist sie auch
> von B nach A injektiv. Das würde aber bei meinem Problem
> heißen. Ist also Z und N gleichmächtig so existiert laut
> Definition eine bijektive Abbildung zwischen den beiden
> Mengen. Das heißt aber auch das eine Abbildung nicht nur
> von N nach Z existieren muss, sondern auch von Z nach N und
> da ist es ja nicht schwierig laut Definition eine Abbildung
> zu finden, die surjektiv und injektiv ist. Z.B. wäre doch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die Abbildung f(x)=x bijektiv von Z nach N oder täusche ich
> mich da???
Ja, denn diese Abbildung ist doch gar nicht definiert:
Was ist z.B. f(-4)?
[mm] $f(-4)=-4\red{\not\in}\IN$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:15 Fr 06.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
nun muss ich nochmal nachfragen.
Laut meiner Definition aus meinem Buch, ist eine Abbildung f : A [mm] \mapsto [/mm] B surjektiv, wenn für jedes y [mm] \in [/mm] B die Gleichung f(x)=y lösbar ist. Also für jedes y aus der Menge B ein x aus der Menge A existiert.
Angenommen meine Funktion lautet: f(x)=x, und ich lege fest: f : [mm] \IZ \mapsto \IN. [/mm] Da die Funktionsgleichung y=x lautet, ist die Lösung dieser Gleichung x. Das heißt laut Definition, dass für jedes y aus N diese Gleichung auch eine Lösung besitzt. Denn egal was ich für einen Wert aus N für y einsetze, ich kriege immer einen Wert für x, der in Z liegt. Demnach wäre sie surjektiv.
Wenn das Ganze jetzt aber von der anderen Seite her betrachte und schaue mir die Funktion an, also y=x und nicht die Lösung x=y, dann ist sie nicht surjektiv, denn wenn ich wie Marc vorhin schon gesagt hat, für x eine negative Zahl aus Z einsetze, was ja auch erlaubt ist, dann wäre y ja negativ und das darf aber laut Wertemenge, die ja N ist nicht sein!
Mich bringt das noch zur Verzweiflung. Wierum muss ich es denn nun sehen. Ist sie jetzt surjektiv oder nicht??? Injektiv ist sie, das ist mir klar!
Bitte helft mir nochmal!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Fr 06.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich habe mein Problem selbst gelöst. Mir ist gar nicht bewußt geworden, wie die Abbildung ja definiert ist, nämlich das jedem x aus der Definitionsmenge ja ein Wert zugewiesen werden muss. Ich war so durcheinander von den ganzen Definitionen, dass ich selbst die einfachsten Dinge nicht mehr gesehen habe.
Nun ist mir alles klar und ich habe gemerkt, dass ich die ganze Zeit an der Sache vorbeigedacht habe.
Danke nochmal und Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 08.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo clwoe,
deine Annahme im zweiten Post ist richtig: da die Abbildung bijektiv ist, existiert auch die Umkehrabbildung:
Wir nehmen [mm] f:\IN_0\rightarrow\IZ
[/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -\bruch{n+1}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 06.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
das verstehe ich jetzt nicht. Wie wäre denn zu deiner formulierten Funktion die Umkehrfunktion???
Und mir ist da nochwas aufgefallen.
Die Funktion f(x)=-x ist doch bijektiv. Für Z auf N. Die Umkehrfunktion hat genau den gleichen Term. Wenn ich nun aber mit der Umkehrfunktion auch Definitionsbereich und Wertebereich vertausche ist sie nicht mehr bijektiv. Das darf doch gar nicht sein!
Ich blicke überhaupt nicht mehr durch im Moment!
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
dann jetzt doch nochmal die Umkehrabbildung etwas schöner aufgeschrieben:
[mm] f:\IZ\rightarrow\IN_0
[/mm]
[mm]f(n)=\begin{cases} -2n-1, & \mbox{für } -\infty
Liebe Grüße
Herby
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