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Mächtigkeit von Faktorgruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Fr 29.05.2020
Autor: sina10

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Seien $H_{2} \subseteq H_{1}$ Untergruppen einer Gruppe $G$.

Dann gilt $\vert G / H_{2} \vert  = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert$.

Mittag,

ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes beschäftigt.

Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte :-)

Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht den ganzen.





Beweis :



Wähle einen Vertreter $x_{i}$ für jede Äquivalenzklasse $[x_{i}] = x_{1} H_{1} $ in $G /H_{1}$ und einen Vertreter $y_{j}$ für jede Äquivalenzklasse $[y_{j}] = y_{j} H_{2} $ in $H_{1} /H_{2}$ .


Behauptung 1:

Es gilt $[x_{i} y_{j} ] \neq  [x_{k} y_{l} ] $ in $G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)$.


Beweis:

Angenommen, es gilt $[x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}]$.

Dann ist $x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$, d.h. \exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j}$.


Durch Umformen sieht man schnell

$x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}$.

Da $y_{l} \in H_{1}$ und $h_{2} \in H_{2}$, ist $y_{l} h_{2} \in H_{1}$.


Also ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$.


Da $H_{1}$ eine Gruppe ist, ist $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$.

Da $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$ und $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$, ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$, da $H_{1}$ abgeschlossen ist.


Und weil  $x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$ gilt, ist $x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}$


Insgesamt gilt also $[x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}]$.



Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.


Aus $[x_{i} y_{j}}] =  x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$




Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:



"Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.


Aus $[x_{i} y_{j}}] =  x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$"


Warum gilt $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl von $x_{m}$ ? Wie soll ich mir das vorstellen ?

Genau das gleiche frage ich mich auch bei   $y_{j} = y_{l}$.



Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?



Ich bedanke mich im Voraus.




        
Bezug
Mächtigkeit von Faktorgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Mo 01.06.2020
Autor: statler


> Seien [mm]H_{2} \subseteq H_{1}[/mm] Untergruppen einer Gruppe [mm]G[/mm].
>  
> Dann gilt [mm]\vert G / H_{2} \vert = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert[/mm].
>  

Guten Morgen!

> ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes
> beschäftigt.
>  
> Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich
> freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte :-)
>  
> Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht
> den ganzen.
>  
> Beweis :
>
> Wähle einen Vertreter [mm]x_{i}[/mm] für jede Äquivalenzklasse
> [mm][x_{i}] = x_{1} H_{1}[/mm] in [mm]G /H_{1}[/mm] und einen Vertreter [mm]y_{j}[/mm]
> für jede Äquivalenzklasse [mm][y_{j}] = y_{j} H_{2}[/mm] in [mm]H_{1} /H_{2}[/mm]
> .
>  
>
> Behauptung 1:
>  
> Es gilt [mm][x_{i} y_{j} ] \neq [x_{k} y_{l} ][/mm] in [mm]G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)[/mm].
>  
>
> Beweis:
>  
> Angenommen, es gilt [mm][x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}][/mm].
>  
> Dann ist [mm]$x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$,[/mm] d.h. [mm]\exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2}[/mm]
> = [mm]x_{i} y_{j}$.[/mm]
>  
>
> Durch Umformen sieht man schnell
>  
> [mm]x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}[/mm].
>  
> Da [mm]y_{l} \in H_{1}[/mm] und [mm]h_{2} \in H_{2}[/mm], ist [mm]y_{l} h_{2} \in H_{1}[/mm].
>  
>  
>
> Also ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm].
>  
>
> Da [mm]H_{1}[/mm] eine Gruppe ist, ist [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm].
>
> Da [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm] und [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm],
> ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm],
> da [mm]H_{1}[/mm] abgeschlossen ist.
>  
>
> Und weil  [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm] gilt, ist [mm]x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}[/mm]
>  
>
> Insgesamt gilt also [mm][x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}][/mm].
>  
>
>
> Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>  
>
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]
>  
>
>
>
> Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:
>  
>
>
> "Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>  
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]"
>  
>
> Warum gilt [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl von [mm]x_{m}[/mm] ? Wie soll ich
> mir das vorstellen ?

Die [mm] x_{i} [/mm] sind ein Repräsentantensystem, für gleiche Klassen habe ich auch die gleichen Repräsentanten.

>
> Genau das gleiche frage ich mich auch bei   [mm]y_{j} = y_{l}[/mm].
>  

ditto

>
>
> Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?

Die Behauptung 1 ist

$(i, j) [mm] \neq [/mm] (k, l) [mm] \Rightarrow [x_{i} y_{j} [/mm] ] [mm] \neq [x_{k} y_{l} [/mm] ]$

und gezeigt ist jetzt
[mm] $[x_{i} y_{j} [/mm] ] =  [mm] [x_{k} y_{l} [/mm] ] [mm] \Rightarrow [/mm] (i, j) = (k, l)$

Das ist logisch äquivalent, wie du hoffentlich weißt (Kontraposition).

Gruß Dieter

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