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| Aufgabe | Zeigen Sie: Eine 1001-elementige Menge hat genauso viele Teilmengen gerader Mächtigkeit wie Teilmengen ungerader Mächtigkeit.
Hilfe: Sei Y Teilmege meiner Menge mit |Y|=y gerade. o.B.d.A. [mm] |Y|=y=2y_{0}, y_{0} \in \IN. [/mm] Dann C(Y) (Komplement) ungerade, weil 2n + 1 - [mm] 2y_{0} [/mm] = 2 [mm] (n-y_{0}) [/mm] + 1 ungerade. Umkehrung analog. |
Hallo!
Tja,ich bereite meine ersten Übungen für die Uni vor,aber irgendwie komm ich da nicht weiter - die anderen 23 Beispiele hab ich, aber das lässt mir keine Ruhe. Ehrlich gesagt, hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Ich hab schon n = 1001 gesetzt und dann [mm] y_{0} [/mm] berechnet, aber irgendwie geht das auch nicht. Ich hoffe, das lässt sich leicht lösen, weil ich erst 1 Monat studiere - also wenns geht, bitte nicht zu kompliziert =)
Vielen Dank im Vorraus,
Rebell der Sonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 26.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie: Eine 1001-elementige Menge hat genauso viele
> Teilmengen gerader Mächtigkeit wie Teilmengen ungerader
> Mächtigkeit.
>
Hallo, eine Menge mit 1001 Elementen besitzt genau
[mm] \vektor{1001 \\ k} [/mm] k-elementige Teilmengen.
Da [mm] \vektor{1001 \\0}=\vektor{1001 \\ 1001},
[/mm]
[mm] \vektor{1001 \\ 1}=\vektor{1001 \\ 1000}
[/mm]
usw.,
gibt es genau so viele k-elementige wie (1001-k)-elementige Teilmengen (und wenn k gerade ist, ist 1001-k ungerade und umgekehrt).
Dabei muss man nicht mal mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten argumentieren.
Wie wähle ich z.B. 998 von 1001 Elementen aus?
Variante 1: ich wähle 998 Elemente aus.
Variante 2: ich wähle mir die 3 Elemente aus, die ich nicht auswählen will, und nehme alle anderen.
Es gibt als genau soviele Möglichkeiten 998 Elemente auszuwählen, wie es Möglichkeiten gibt (1001-998) Elemente auszuwählen.
Gruß Abakus
> Hilfe: Sei Y Teilmege meiner Menge mit |Y|=y gerade.
> o.B.d.A. [mm]|Y|=y=2y_{0}, y_{0} \in \IN.[/mm] Dann C(Y)
> (Komplement) ungerade, weil 2n + 1 - [mm]2y_{0}[/mm] = 2 [mm](n-y_{0})[/mm] +
> 1 ungerade. Umkehrung analog.
> Hallo!
>
> Tja,ich bereite meine ersten Übungen für die Uni vor,aber
> irgendwie komm ich da nicht weiter - die anderen 23
> Beispiele hab ich, aber das lässt mir keine Ruhe. Ehrlich
> gesagt, hab ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das
> beweisen soll. Ich hab schon n = 1001 gesetzt und dann
> [mm]y_{0}[/mm] berechnet, aber irgendwie geht das auch nicht. Ich
> hoffe, das lässt sich leicht lösen, weil ich erst 1 Monat
> studiere - also wenns geht, bitte nicht zu kompliziert =)
>
> Vielen Dank im Vorraus,
> Rebell der Sonne
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