Magische Quadrate < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 08.11.2005 | | Autor: | Freddie |
Meine Fragen beschäftigen sich mit der Vektorenrechnung, primär mit dem Vektorraum.
PS: Vielleicht können ein paar einfache Erklärungslinks hier auch weiterhelfen.
1. Problem)
Wie ist die Basis in einem Vektorraum definiert?
Wie kann ich zb. eine Basis mit Polynomen höchstens 4. Grades angeben?
Und welche Dimension kann ein Vektorraum mit Polynomen des n-ten Grades überhaupt besitzen?
2. Problem)
Ich habe ein Magisches Quadrat und soll zeigen das es die Basis zu einem Vektorraum ist. Nehmen wir zb:
2 0 1
0 1 2
1 2 0
Weiterhin soll ich dann eine weiteres magischen Quadrates als Linearkombination dieser Basis darstellen .
Wie gehe ich da am "einfachsten" ran? (Nachvollziehbar und vielleicht nicht erstmal am geschicktesten / schnellsten)
Ich danke schonmal für Antworten...
|
|
| |
|
Guten Morgen
> Meine Fragen beschäftigen sich mit der Vektorenrechnung,
> primär mit dem Vektorraum.
>
> PS: Vielleicht können ein paar einfache Erklärungslinks
> hier auch weiterhelfen.
>
> 1. Problem)
> Wie ist die Basis in einem Vektorraum definiert?
> Wie kann ich zb. eine Basis mit Polynomen höchstens 4.
> Grades angeben?
> Und welche Dimension kann ein Vektorraum mit Polynomen des
> n-ten Grades überhaupt besitzen?
Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, mit der du den ganzen Raum als ein Vielfaches dieser Vektoren darstellen kannst.
eine Basis mit Polynomen ist somit (1, x, [mm] x^{2}, x^{3},....,x^{n}) [/mm] und die Dimension dieses Raumes ist n+1
>
> 2. Problem)
> Ich habe ein Magisches Quadrat und soll zeigen das es die
> Basis zu einem Vektorraum ist. Nehmen wir zb:
> 2 0 1
> 0 1 2
> 1 2 0
>
> Weiterhin soll ich dann eine weiteres magischen Quadrates
> als Linearkombination dieser Basis darstellen .
>
> Wie gehe ich da am "einfachsten" ran? (Nachvollziehbar und
> vielleicht nicht erstmal am geschicktesten / schnellsten)
Die Basiseigenschaft prüfst du nach, indem du eine linearkombination der Vektoren aufstells, z.b. 2x+0y+1z=0, 0x+1y+2z=0 und 1x+2y+0z=0, dann rechnest du x,y,z aus und wenn die alle 0 sind, dann ist das ganze Linear unabhängig und somit eine Basis (du müßtest auch noch zeigen, daß die Vektoren den [mm] \IR^{3} [/mm] aufspannen, aber das ist offensichtlich)
Zur anderen Sache kann ich dir leider nicht helfen,
LG
Britta
>
>
> Ich danke schonmal für Antworten...
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Freddie,
> Meine Fragen beschäftigen sich mit der Vektorenrechnung,
> primär mit dem Vektorraum.
>
> PS: Vielleicht können ein paar einfache Erklärungslinks
> hier auch weiterhelfen.
>
> 1. Problem)
> Wie ist die Basis in einem Vektorraum definiert?
> Wie kann ich zb. eine Basis mit Polynomen höchstens 4.
> Grades angeben?
> Und welche Dimension kann ein Vektorraum mit Polynomen des
> n-ten Grades überhaupt besitzen?
>
> 2. Problem)
> Ich habe ein Magisches Quadrat und soll zeigen das es die
> Basis zu einem Vektorraum ist. Nehmen wir zb:
> 2 0 1
> 0 1 2
> 1 2 0
>
> Weiterhin soll ich dann eine weiteres magischen Quadrates
> als Linearkombination dieser Basis darstellen .
>
> Wie gehe ich da am "einfachsten" ran? (Nachvollziehbar und
> vielleicht nicht erstmal am geschicktesten / schnellsten)
Hier bin ich nicht sicher, ob ich deine Aufgabenstellung richtig verstehe. So wie du es geschrieben hast, soll dein magisches Quadrat
[mm] \begin{matrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{matrix} [/mm]
Das heißt, deine Basis enthält nur dieses eine Element. Dieses Element ist lin. unabhängig. Der Vektorraum, den es aufspannt, sind alle Vielfachen davon, also die Menge aller
[mm] a\cdot\ \begin{matrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{matrix}\ =\ \begin{matrix}
2a & 0 & a \\
0 & a & 2a \\
a & 2a & 0
\end{matrix} [/mm]
mit [mm] a \in \IR [/mm]
Es kann aber auch sein, dass du die Basis des Vektorraums aller dreireihigen magischen Quadrate suchst.
Dann kannst du von einem belilebigen magischen Quadrat ausgehen:
[mm] \begin{matrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_4 & x_5 & x_6 \\
x_7 & x_8 & x_9
\end{matrix} [/mm]
ausgehen, wobei die Gleichungen für die magischen Quadrate erfüllt sein müssen:
[mm] x_1 + x_2 + x_3 = x_4 + x_5 + x_6 [/mm]
usw.
Du kommst dabei auf 9 Gleichungen. Du kannst dann zeigen, dass der Lösungsraum des Gleichungssystems gleich 3 ist.
Deine Basis muss also drei Elemente haben. Diese findest du, wenn du bei deinem magischen Quadrat Vertauschungen der Zahlen (zeilen, Spalten) vornimmst, so dass einmal die Eigenschaft des magischen Quadrates und außerdem die lineare Unabhägigkeit gegeben ist.
Versuch's mal.
Gruß
Sigrid
>
>
> Ich danke schonmal für Antworten...
>
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
