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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Konvergenz prüfen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}} [/mm] |
Hallo,
bei der Aufgabe habe ich mir gedacht, dass man das Majoranten bzw. Minorantenkriterium anwenden kann und habe
es mal versucht...
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}} [/mm] zum Quadrat, damit Wurzel verschwindet
[mm] a_{n} \ge \bruch{1}{n^{2} + 44n +55}
[/mm]
Wert soll größer werden, also kann ich ohne Probleme die 55 weglassen.
[mm] \le \bruch{1}{n^{2} + 44n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(n+44)} \le \bruch{1}{n}
[/mm]
das (n+44) kann man weglassen, weil immer positiv, Wert wird nochmal größer.
dann folgt eigentlich, dass es eine Minorante ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
divergiert... somit divergiert auch die Ausgangsreihe.
Leider weiß ich nicht, ob meine Gedankenfolge usw. richtig ist...
Um Korrektur und Tipps wäre ich dankbar.
Gruß Doreen.
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Doreen!
Du wendest das Minorantenkriterium falsch an.
Was du machst, ist Folgendes:
Du zeigst:
[mm] $a_n \le \frac{1}{n}$
[/mm]
und folgerst dann aus der Divergenz der harmonischen Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ [/mm] die Divergenz von [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$. [/mm] Das ist aber genau falsch.
Du müsstest [mm] $a_n$ [/mm] nach unten gegen die Reihenglieder einer divergenten Reihe abschätzen.
Um es gleich zu sagen: Das geht, die Reihe ist in der Tat divergent!
Du kannst nämlich [mm] $a_n$ [/mm] gegen
$C [mm] \cdot \frac{1}{n}$
[/mm]
nach unten abschätzen, wobei $C$ eine geeignete Konstante ist, die du jetzt noch bestimmen musst.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Halli Hallo - ich schon wieder-
Ich täte ja furchtbar gern nach unten die Reihe abschätzen... wenn
ich wüsste, wie das funktioniert...
Leider weiß ich das nicht... weil ich nicht weiß, was ich da alles machen darf und weil ich nicht weiß worauf ich achten muss...
Wäre daher jemand so lieb und erklärt es mir eventuell...
Vielen Dank
Gruß Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 So 22.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Ich täte ja furchtbar gern nach unten die Reihe
> abschätzen... wenn
> ich wüsste, wie das funktioniert...
Naja so, wie das oben steht - jedes [m]a_n\ge 0[/m] schätzt du nach unten durch [m]b_n\ge 0[/m] ab. Wenn jetzt [m]\sum b_n[/m] divergiert, so auch [m]\sum a_n[/m]. Oder was meinst du?
> Leider weiß ich das nicht... weil ich nicht weiß, was ich
> da alles machen darf
Hm? Weil es noch nicht in der Vorlesung war, oder wie? Du sollst ein C bestimmen mit [m]C*\bruch{1}{n}\le\bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}}[/m]. Löse das doch mal nach C auf.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
also wenn ich das nochmal zusammenfasse, dann
suche ich eine Reihe 0 [mm] \le c_{n} \le a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] : [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}}
[/mm]
dann suche ich:
C * [mm] \bruch{1}{n} \le \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}}
[/mm]
nach C umgestellt:
C [mm] \le [/mm] n * [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}}
[/mm]
dann n=1 [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
n=2 0,16...
n=3 0,21...
[mm] ....\Rightarrow [/mm] C = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Beweis für
[mm] c_{n} \le a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} \le \bruch{1}{\wurzel{n^{2} + 44n +55}}
[/mm]
für n=1
Linke Seite: [mm] \bruch{1}{10} [/mm] Rechte Seite: [mm] \bruch{1}{10} [/mm] passt!
für n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n+1} \le \bruch{1}{\wurzel{(n+1)^{2} +44*(n+1) +55}}
[/mm]
durch ausmultiplizieren, umstellen...
[mm] \wurzel{n^{2} +26n+100} \le [/mm] 10n+10 alles zum Quadrat
[mm] n^{2} [/mm] +26n+100 [mm] \le 100n^{2} [/mm] + 200n + 10
umstellen
90 [mm] \le 99n^{2} [/mm] +174n
90 [mm] \le [/mm] n(99n +174) für n [mm] \in \IN
[/mm]
somit ist [mm] c_{n} \le a_{n} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] = 1/10 * 1/n Minorante
somit divergiert [mm] a_{n}
[/mm]
Wahrscheinlich ist mein Gedankengang falsch. Leider weiß ich sonst nichts
besseres damit anzufangen...
Daher wäre es sehr hilfreich, wenn mir jemand sagen könnte, wie man es richtig macht...
Vielen Dank für eure/deine Hilfe
Gruß Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 23.01.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Doreen,
du suchst eine divergente Minorante und findest durch Probieren dein C, das ist doch völlig in Ordnung. Dein strenger Beweis sieht allerdings so aus, als habe er mit vollst. Induktion zu tun, das hat er aber gar nicht, denn du benutzt die Ind.-voraussetzung doch nirgends. Also kannst du die Ungleichung
> für n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm]\bruch{1}{n+1} \le \bruch{1}{\wurzel{(n+1)^{2} +44*(n+1) +55}}[/mm]
doch auch gleich für n nachrechnen!
Gruß aus dem kalten Norden
Dieter
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