Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 22.01.2008 | | Autor: | Zabsen |
| Aufgabe | Untersuchen sie auch Konvergenz bzw. Divergenz mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriteriums:
1.)
[mm] \summe_{n=5}^{\infty} \bruch{1}{2^n - n^2}
[/mm]
2.)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{2^n}-\bruch{1}{n}) [/mm] |
Dies sind zwei Aufgaben, die zum Nachzeigen vorbereiten muss um die Mathe Übung positiv abzuschließen...somit hängt mein Leben davon ab.
Ich habe beide schonmal auf eine Mayorante abgeschätzt, aber dann ist mir gekommen, dass beide eigentlich kaum konvergent sein können, da bei der 2. beispielsweise eine Divergente Reihe von einer konvergenten abgezogen wird und die ganze Reihe für mein Verständnis so gegen [mm] -\infty [/mm] konvergiert, also divergiert. Jetzt steck ich irgendwie fest und weiß nicht wirklich wie sich Reihen verhalten, wenn ich etwas konvergentes/divergentes subtrahiere und wie ich das alles möglichst schmackhaft für den Mathe Prof. verpacke.
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zabsen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Summe / Differenz zweier konvergenten Reihen ist wiederum konvergent.
Die Summe / Differenz aus einer konvergenten Reihe mit einer divergenten Reihe ist divergent.
Bei der Summe / Differenz aus zwei divergenten Reihen ist lediglich eine Aussage möglich, wenn beide jeweils dasselbe Vorzeichen haben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 22.01.2008 | | Autor: | Zabsen |
Ok, das macht Sinn. Wenn ich die 2. Aufgabe betrachte ist klar, dass [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] konvergent, wogegen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergent. Somit ist die Reihe divergent. Mehr lässt sich dazu wohl nicht sagen oder?
Bei Beispiel eins bin ich mir nicht sicher, ob [mm] 2^n [/mm] "groß" genug ist (bzw. schnell genug groß genug wird), damit die Reihe trotzdem noch konvergiert. Wie finde ich das heraus und Beweise es?
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> Bei Beispiel eins bin ich mir nicht sicher, ob [mm]2^n[/mm] "groß"
> genug ist (bzw. schnell genug groß genug wird), damit die
> Reihe trotzdem noch konvergiert. Wie finde ich das heraus
> und Beweise es?
Hallo,
zeige mit Induktion, daß [mm] 2^n>2n^2 [/mm] für ...
Dann kannst Du ja den Bruch durch [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] abschätzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 22.01.2008 | | Autor: | Zabsen |
ok ich habe jetzt eine Vollständige Induktion für [mm] 2^n [/mm] - [mm] n^2 \ge n^2 [/mm] also [mm] 2^n\ge2n^2 [/mm] gemacht.
Also Anfang (mit x=7 weils sonst nicht geht), Annahme und dann Behauptung.
Habe beim Induktionsschritt [mm] 2^n [/mm] durch [mm] 2n^2 [/mm] abgeschätzt (aus der Annahme entnommen) und komme auf
[mm] 2n^2 \*2 \ge 2\*(n+1)^2 [/mm] und so dann auf
2 [mm] \ge 1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}
[/mm]
Für mich ist dann völlig klar, dass ab genügend hohem n die Gleichung stimmt. Passt das so, oder sollte man nochwas machen?
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> ok ich habe jetzt eine Vollständige Induktion für [mm]2^n[/mm] - [mm]n^2 \ge n^2[/mm]
> also [mm]2^n\ge2n^2[/mm] gemacht.
> Also Anfang (mit x=7 weils sonst nicht geht), Annahme und
> dann Behauptung.
>
> Habe beim Induktionsschritt [mm]2^n[/mm] durch [mm]2n^2[/mm] abgeschätzt (aus
> der Annahme entnommen) und komme auf
> [mm]2n^2 \*2 \ge 2\*(n+1)^2[/mm] und so dann auf
>
> 2 [mm]\ge 1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Für mich ist dann völlig klar, dass ab genügend hohem n die
> Gleichung stimmt. Passt das so, oder sollte man nochwas
> machen?
Hallo,
gilt Deine Frage der Induktion?
Wenn alle Schritte schlüssig auseinander folgen, bist Du mit der Induktion fertig.
Am Schluß muß man entnehmen können, daß [mm] 2^{n+1}\ge 2(n+1)^2 [/mm] ist.
Wenn ich mir alles recht zusammenreime, hast Du irgendwelche Äquivalenzumformungen vorgenommen. Das wäre keineswegs falsch, man macht aber leicht Fehler dabei.
Am schönsten ist es, wenn Du abschätzend eine Ungleichungskette hast:
[mm] 2^{n+1}= ...\le ...\ge 2(n+1)^2. [/mm]
Gruß v. Angela
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