Majorantenkriterium II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen mit Hilfe des Majoranten- bzw. Minorantenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz und absolute Konvergenz.
1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{3^n}[/mm]
2) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
3) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(1 + \bruch{1}{n})^n}[/mm] |
Guten Abend, ich habe diese Aufgaben als Übung aus diesem Thread herausgesucht, ohne auf die Lösung zu schauen: https://matheraum.de/forum/Majoranten_Minorantenkriterium/t311586
Ich hoffe die Aufgaben sind gute Übungsaufgaben, ansonsten bin ich sehr dankbar für andere Aufgaben.
Zu 1:
Nebenrechnung:
[mm]\bruch{n^2}{3^n} = n^2 \cdot \bruch{1}{3^n} = n^2 \cdot (\bruch{1}{3})^n[/mm]
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^2}{3^n} = n^2 \cdot \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{3})^n[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher.
Darf ich das machen? Oder darf ich nur Konstanten vor die Reihe ziehen?
Ansonten würde ich nun mit der geometrischen Reihe auf die Konvergenz schließen, da [mm]\bruch{1}{3} < 1[/mm].
Vielen Dank für jede Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 So 06.01.2013 | | Autor: | hippias |
Achtung: Damit die Problemstellung sinnvoll ist, muss der Laufindex der Summe $n$ und nicht $i$ heissen! Somit steht die Summe fuer [mm] $\frac{1^{2}}{3^{1}}+ \frac{2^{2}}{3^{2}}+\ldots$ [/mm] und das [mm] $n^{2}$ [/mm] kann folglich nicht vor die Summe gezogen werden.
Es ist bestimmt nicht das Kluegste, aber Du koenntest versuchen Dir klarzumachen, dass [mm] $\frac{n^{2}}{3^{n}}< \frac{1}{2^{n}}$ [/mm] fuer alle hinreichend grosse $n$ ist; das waere dann eine konvergente Majorante.
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Guten Abend hippias :)
> Achtung: Damit die Problemstellung sinnvoll ist, muss der
> Laufindex der Summe [mm]n[/mm] und nicht [mm]i[/mm] heissen! Somit steht die
> Summe fuer [mm]\frac{1^{2}}{3^{1}}+ \frac{2^{2}}{3^{2}}+\ldots[/mm]
> und das [mm]n^{2}[/mm] kann folglich nicht vor die Summe gezogen
> werden.
Oh, das war ein Flüchtigkeitsfehler. Danke für den Hinweis. Soll natürlich n und nicht i sein.
Habe es mal angepasst.
> Es ist bestimmt nicht das Kluegste, aber Du koenntest
> versuchen Dir klarzumachen, dass [mm]\frac{n^{2}}{3^{n}}< \frac{1}{2^{n}}[/mm]
> fuer alle hinreichend grosse [mm]n[/mm] ist; das waere dann eine
> konvergente Majorante.
Hmm, das kann ich mir leider noch nicht ganz klar machen.
Ich weiß, dass man den Zähler vergrößern und den Nenner verkleinern muss. Jetzt haben wir aber den Zähler und den Nenner verkleinert.
Wie kann ich sicher sein, dass die Ungleichung nun dennoch stimmt?
Ich tue mir sogar bei der Grenzwertbestimmung dieses Bruchs schwer.
Das sind doch zwei verschiedene Grenzwerte.
Ich habe mal gehört, dass man sich dann nur den Grenzwert anschaut der schneller wächst, oder was genau muss ich bei mehr als einem Grenzwert machen?
mfg Lisa
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Hallo Lisa,
Du scheinst da irgendetwas durcheinander zu bringen.
> > Achtung: Damit die Problemstellung sinnvoll ist, muss der
> > Laufindex der Summe [mm]n[/mm] und nicht [mm]i[/mm] heissen! Somit steht die
> > Summe fuer [mm]\frac{1^{2}}{3^{1}}+ \frac{2^{2}}{3^{2}}+\ldots[/mm]
> > und das [mm]n^{2}[/mm] kann folglich nicht vor die Summe gezogen
> > werden.
>
> Oh, das war ein Flüchtigkeitsfehler. Danke für den
> Hinweis. Soll natürlich n und nicht i sein.
> Habe es mal angepasst.
Gut so.
> > Es ist bestimmt nicht das Kluegste, aber Du koenntest
> > versuchen Dir klarzumachen, dass [mm]\frac{n^{2}}{3^{n}}< \frac{1}{2^{n}}[/mm]
> > fuer alle hinreichend grosse [mm]n[/mm] ist; das waere dann eine
> > konvergente Majorante.
>
> Hmm, das kann ich mir leider noch nicht ganz klar machen.
> Ich weiß, dass man den Zähler vergrößern und den
> Nenner verkleinern muss. Jetzt haben wir aber den Zähler
> und den Nenner verkleinert.
> Wie kann ich sicher sein, dass die Ungleichung nun dennoch
> stimmt?
Sie stimmt, wie gesagt, erst ab einem hinreichend großen $n$.
Du kannst umstellen:
[mm] \bruch{n^2}{3^n}<\bruch{1}{2^n}\quad\gdw\quad n^2<\left(\bruch{3}{2}\right)^n
[/mm]
Es gehört zum Grundwissen, dass eine Exponentialfunktion mit einer Basis >1 schneller wächst als jede Potenzfunktion. Es kann aber durchaus sein, dass Du das noch nicht verwenden darfst.
Hier übrigens gilt die Ungleichung für alle n>12, und das genügt ja völlig für eine Majorante. Hauptsache, es gibt ein N, so dass die Ungleichung für alle n>N erfüllt ist.
> Ich tue mir sogar bei der Grenzwertbestimmung dieses Bruchs
> schwer.
Den Grenzwert brauchst Du überhaupt nicht! Es genügt zu zeigen, dass die Majorante konvergent ist; ihr Grenzwert muss doch gar nicht bestimmt werden.
> Das sind doch zwei verschiedene Grenzwerte.
> Ich habe mal gehört, dass man sich dann nur den Grenzwert
> anschaut der schneller wächst, oder was genau muss ich bei
> mehr als einem Grenzwert machen?
Wie gesagt, gar nichts. Du sollst hier zwei Reihen miteinander vergleichen, sonst nichts.
Übrigens sind konvergente Majoranten so gut wie immer geometrische Reihen mit q<1 oder aber verallgemeinerte harmonische Reihen, also vom Typ [mm] \summe_{n\in\IN}\bruch{1}{n^s} [/mm] mit s>1, also Reihen, bei denen die Konvergenz leicht zu erkennen bzw. "gesetzt" ist.
Hier wäre übrigens auch [mm] \bruch{n^2}{3^n}<\bruch{1}{n^2} [/mm] erfüllt, nämlich für alle n>7.
Besser aber dürfte die Majorante [mm] \bruch{2^n}{3^n} [/mm] sein. Schau Dir die mal an.
Grüße
reverend
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Guten Abend reverend und danke für deine Antwort :)
> > Hmm, das kann ich mir leider noch nicht ganz klar machen.
> > Ich weiß, dass man den Zähler vergrößern und den
> > Nenner verkleinern muss. Jetzt haben wir aber den Zähler
> > und den Nenner verkleinert.
> > Wie kann ich sicher sein, dass die Ungleichung nun dennoch
> > stimmt?
>
> Sie stimmt, wie gesagt, erst ab einem hinreichend großen
> [mm]n[/mm].
> Du kannst umstellen:
> [mm]\bruch{n^2}{3^n}<\bruch{1}{2^n}\quad\gdw\quad n^2<\left(\bruch{3}{2}\right)^n[/mm]
>
> Es gehört zum Grundwissen, dass eine Exponentialfunktion
> mit einer Basis >1 schneller wächst als jede
> Potenzfunktion. Es kann aber durchaus sein, dass Du das
> noch nicht verwenden darfst.
>
> Hier übrigens gilt die Ungleichung für alle n>12, und das
> genügt ja völlig für eine Majorante. Hauptsache, es gibt
> ein N, so dass die Ungleichung für alle n>N erfüllt ist.
Okay, das habe ich verstanden. Danke :)
> > Ich tue mir sogar bei der Grenzwertbestimmung dieses Bruchs
> > schwer.
>
> Den Grenzwert brauchst Du überhaupt nicht! Es genügt zu
> zeigen, dass die Majorante konvergent ist; ihr Grenzwert
> muss doch gar nicht bestimmt werden.
Oh, ich hätte mich klarer ausdrücken müssen. Ich weiß, dass ich den Grenzwert nicht brauche, aber es hatte mich einfach interessiert, weil ich ihn nicht bestimmen kann. Kannst du mir da bitte einen Tipp geben?
> > Das sind doch zwei verschiedene Grenzwerte.
> > Ich habe mal gehört, dass man sich dann nur den
> Grenzwert
> > anschaut der schneller wächst, oder was genau muss ich bei
> > mehr als einem Grenzwert machen?
>
> Wie gesagt, gar nichts. Du sollst hier zwei Reihen
> miteinander vergleichen, sonst nichts.
Ja, wie gesagt, habe ich mich nicht klar ausgedrückt. Es interessiert mich einfach. Kannst du mir dennoch die Frage bitte beantworten?
> Übrigens sind konvergente Majoranten so gut wie immer
> geometrische Reihen mit q<1 oder aber verallgemeinerte
> harmonische Reihen, also vom Typ
> [mm]\summe_{n\in\IN}\bruch{1}{n^s}[/mm] mit s>1, also Reihen, bei
> denen die Konvergenz leicht zu erkennen bzw. "gesetzt"
> ist.
Ist das der Fachausdruck für [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^x}[/mm] mit [mm]x > 1[/mm]? Also verallgemeinerte harmonische Reihe? Oder was soll ich schreiben, wenn ich diese Reihe bei meinem Beweis verwende?
> Besser aber dürfte die Majorante [mm]\bruch{2^n}{3^n}[/mm] sein.
> Schau Dir die mal an.
Okay, ich probiere eine Musterlösung:
Ansatz:
Für n > 4 gilt [mm]\bruch{n^2}{3^n} < \bruch{2^n}{3^n} = (\bruch{2}{3})^n[/mm]
Die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] konvergiert für [mm]|q| < 1[/mm], daher konvergiert die gegebene Reihe nach dem Majorantenkriterium mit der Majorante [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{2}{3})^n[/mm], weil [mm]|\bruch{2}{3}| = \bruch{2}{3} < 1[/mm].
Die gegebene Reihe konvergiert zudem absolut, da [mm]|\bruch{n^2}{3^n}| = \bruch{n^2}{3^n}[/mm].
Ist nun alles richtig?
mfg Lisa :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es fehlt der Beweis, dass [mm] n^2<2^n
[/mm]
durch Induktion fuer [mm] n\ge [/mm] 5
gruss leduart
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Hallo leduart :)
> Es fehlt der Beweis, dass [mm]n^2<2^n[/mm] durch Induktion fuer [mm]n\ge[/mm] 5
Muss das bewiesen werden? reverend meinte doch "Es gehört zum Grundwissen, dass eine Exponentialfunktion mit einer Basis >1 schneller wächst als jede Potenzfunktion". Woher weiß ich, ob ich das nun verwenden darf oder nicht?
Aber dennoch probiere ich mich mal an der Induktion, ist eine gute Wiederholung.
Ansatz:
Induktionsanfang: n = 5
[mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
Beweis:
[mm](n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1 \gdw n^2 < 2^n
q.e.d.[/mm]
War das so richtig?
mfg Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
HALLO
> Hallo leduart :)
>
> > Es fehlt der Beweis, dass [mm]n^2<2^n[/mm] durch Induktion fuer
> [mm]n\ge[/mm] 5
>
> Muss das bewiesen werden? reverend meinte doch "Es gehört
> zum Grundwissen, dass eine Exponentialfunktion mit einer
> Basis >1 schneller wächst als jede Potenzfunktion". Woher
> weiß ich, ob ich das nun verwenden darf oder nicht?
Aber offensichtlich nicht zudeinem wurde alsonoch nicht von euch gezeigt!
> Aber dennoch probiere ich mich mal an der Induktion, ist
> eine gute Wiederholung.
>
> Ansatz:
>
> Induktionsanfang: n = 5
>
> [mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
>
> Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
>
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
>
> [mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm][mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1 < [mm] 2^n [/mm] + 2n + 1
es fehlt [mm] 2n+1<2^n [/mm] (kurze induktion)
dann hast du
[mm](n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1 <2^n+2^n=2^{n+1}
und erst dann hast du denSchluss von n auf n+1!
gruss leduart
\gdw n^2 < 2^n
q.e.d.[/mm]
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> War das so richtig?
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> mfg Lisa
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> > Ansatz:
> >
> > Induktionsanfang: n = 5
> >
> > [mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
> >
> > Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
> >
> > Induktionsvoraussetzung:
> >
> > [mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
> >
> > Induktionsbehauptung:
> >
> > [mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
> >
> > Beweis:
> >
> > [mm](n+1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm] + 2n + 1 < [mm]2^n[/mm] + 2n + 1
es fehlt [mm]2n+1<2^n[/mm] (kurze induktion)
Heißt das dafür muss ich jetzt auch noch einmal die Induktion durchführen mit Induktionsanfang etc. ?
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Hallo Lisa,
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> > > Ansatz:
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> > > Induktionsanfang: n = 5
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> > > [mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
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> > > Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
> > >
> > > Induktionsvoraussetzung:
> > >
> > > [mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
> > >
> > > Induktionsbehauptung:
> > >
> > > [mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
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> > > Beweis:
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> > > [mm](n+1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm] + 2n + 1 < [mm]2^n[/mm] + 2n + 1
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> es fehlt [mm]2n+1<2^n[/mm] (kurze induktion)
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> Heißt das dafür muss ich jetzt auch noch einmal die
> Induktion durchführen mit Induktionsanfang etc. ?
Jo, oder anderweitig begründen.
Induktion geht aber schnell ...
Gruß
schachuzipus
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Hey schachuzipus ;)
Okay, dann schreibe ich alles nochmal neu auf.
Ansatz:
Induktionsanfang: n = 5
[mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
Beweis I:
[mm](n+1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm] + 2n + 1 < [mm]2^n[/mm] + 2n + 1
Kurze Induktion: [mm]2^n > 2n + 1[/mm]
Induktionsanfang: n = 3
[mm]8 > 7[/mm]
Der Indunktionsanfang ist erfüllt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm]2^n > 2n +1[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm]2^{n+1} > 2(n+1) +1 = 2n + 3[/mm]
Beweis II:
[mm]2^{n+1} = 2^n \cdot 2 > (2n+1)\cdot 2 = 4n + 2[/mm]
Und jetzt? Muss ich jetzt wieder beweisen, dass [mm]4n + 2 > 2n +3[/mm] ??
War das überhaupt bis hier richtig?
Dankeschön :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hier ist noch einmal der Beweis für [mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
Ansatz:
Induktionsanfang: n = 5
[mm]5^2 = 25 < 2^5 = 32[/mm]
Der Induktionsanfang ist somit erfüllt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm]n^2 < 2^n[/mm] für [mm]n \geq 5[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm](n+1)^2 < 2^{n+1}[/mm] für [mm]n \geq 4[/mm]
Beweis I:
[mm](n+1)^2[/mm] = [mm]n^2 + 2n +1 < 2^n + 2n + 1 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/mm]
Kurze Induktion: [mm]2^n > 2n + 1[/mm]
Induktionsanfang: n = 3
[mm]8 > 7[/mm]
Der Indunktionsanfang ist erfüllt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm]2^n > 2n +1[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm]2^{n+1} > 2(n+1) +1 = 2n + 3[/mm]
Beweis II:
[mm]2^{n+1} = 2^n \cdot 2 > (2n+1)\cdot 2 = 4n + 2[/mm]
Hier komme ich nicht weiter.
Ich muss doch nun irgendwie auf das Verhältnis der Induktionsbehauptung kommen.
Habt ihr einen Tipp?
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Do 10.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist doch fertigdu hast $ [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n \cdot [/mm] 2 > [mm] (2n+1)\cdot [/mm] 2 = 4n + 2 >2n+3$
denn 4n+2>2n+3 <=> 2n>1 was nach vors 2n>6 richtig ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 10.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo :)
> Hallo
> du bist doch fertigdu hast [mm]2^{n+1} = 2^n \cdot 2 > (2n+1)\cdot 2 = 4n + 2 >2n+3[/mm]
>
> denn 4n+2>2n+3 <=> 2n>1 was nach vors 2n>6 richtig ist.
> Gruss leduart
Super, danke :)
Gruß,
Lisa
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