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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Fr 25.06.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Es ist die Mantelfläche folgender Funktion gesucht:
[mm] f(x)=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
für [mm] a=0{\le}x{\le}0,5=b [/mm] und [mm] \rho=1 [/mm] |
Bei dieser Aufgabe entsteht bei mir ein Integral was irgendwie sehr ungemütlich aussieht und bei dem ich auch nicht weiß wie man das lösen soll.
Als Formel für die Mantelfläche habe ich folgende benutzt
[mm] M=\bruch{\pi*\rho}{2}\integral_{a}^{b}{|f(x)|*\wurzel{1+[f'(x)]^2} dx}
[/mm]
Die Ableitung ist
[mm] f'(x)=-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Jetzt setze ich das ein und es entsteht das unangenehme Integral
[mm] M=\bruch{\pi*1}{2}\integral_{0}^{0,5}{|\wurzel{1-x^2}|*\wurzel{1+[-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}]^2} dx}
[/mm]
Kann man das irgendwie vereinfachen? Das was da steht ist ja ein Teil der Kreisgleichung, vielleicht kann man da irgendwas ersetzten damit es einfacher wird?
Und dann hab ich noch die Frage wenn ich das [mm] [-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}]^2 [/mm] auflöse wird das Minus doch zu Plus oder nicht?
Also so:
[mm] [\bruch{x^2}{{1-x^2}}] [/mm] damit sähe das Integral dann so aus
[mm] M=\bruch{\pi*1}{2}\integral_{0}^{0,5}{|\wurzel{1-x^2}|*\wurzel{1+\bruch{x^2}{{1-x^2}}} dx}
[/mm]
was auch nicht viel besser ist.
Dann hab ich gedacht, könnte man alles unter einer Wurzel zusammenfassen, allerdings weis ich nicht ob das geht wegen dem Betrag?
[mm] M=\bruch{\pi*1}{2}\integral_{0}^{0,5}{\wurzel{{(1-x^2)}(1+\bruch{x^2}{{1-x^2}})} dx}
[/mm]
Wenn man jetzt [mm] {(1-x^2)} [/mm] als einen Term z.B. [mm] {(1-x^2)}=a [/mm] betrachtet könnte man auch die Klammern auflösen und anschliessend kürzen, aber ich hab da irgendwie den Verdacht die Regeln der Mathematik gerade neu zu erfinden.. ;) Und sehr viel besser wird es dadurch auch nicht...
[mm] M=\bruch{\pi*1}{2}\integral_{0}^{0,5}{\wurzel{{(1-x^2)}-2*x^2-\bruch{x^4}{{1-x^2}})} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Das Zauberwort lautet: Hauptnenner:
[mm] 1+\bruch{x^2}{{1-x^2}}= \bruch{1}{1-x^2}
[/mm]
Dann ist
[mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{}\wurzel{1+\bruch{x^2}{1-x^2}}=1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 25.06.2010 | | Autor: | steem |
Hmm die Idee hatte ich auch schon aber wieder verworfen, weil das bei mir nicht 1 wird.
Ich habe erst mit dieser Regel [mm] \bruch{a}{b}\pm \bruch{c}{d}=\bruch{ad \pm bc}{bd} [/mm] die zwei Brüche zusammengefasst was dann [mm] \bruch{(1-x^2)+x^2}{(1-x^2)} [/mm] ist. Dann könnte man höchstens soweit kürzen das da steht [mm] 1+\bruch{x^2}{(1-x^2)} [/mm] womit wir im Kreis gefahren wären :)
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Hallo steem!
> die zwei Brüche zusammengefasst was dann
> [mm]\bruch{(1-x^2)+x^2}{(1-x^2)}[/mm] ist.
Nun fasse doch mal im Zähler zusammen. Damit erhältst Du exakt Fred's Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 25.06.2010 | | Autor: | steem |
Jau stimmt :) ich hab mal wieder übersehen das man die Klammer einfach auflösen kann...
Ich bekomme damit jetzt als Mantelfläche genau [mm] \pi [/mm] raus, was richtig sein müsste.
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Hallo steem,
> Jau stimmt :) ich hab mal wieder übersehen das man die
> Klammer einfach auflösen kann...
>
> Ich bekomme damit jetzt als Mantelfläche genau [mm]\pi[/mm] raus,
> was richtig sein müsste.
Hmm, ich habe nicht alles gelesen, nur überflogen, aber es geht doch um das Integral [mm] $M=\frac{\pi}{2}\cdot{}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{1 \ dx}$, [/mm] oder?
Ich gebe zu bedenken, dass [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}0,5=\frac{1}{4}$ [/mm] ist:
[mm] $M=\frac{\pi}{2}\cdot{}\left[x\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{2}\cdot{}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}\neq\pi$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Jau stimmt :) ich hab mal wieder übersehen das man die
> Klammer einfach auflösen kann...
>
> Ich bekomme damit jetzt als Mantelfläche genau [mm]\pi[/mm] raus,
> was richtig sein müsste.
Na, na ! In Deinem Profil steht: Studienfach: Dipl Maschinenbau .
Wenn Du so Maschinen baust, wie Du rechnest, dann möchte ich mit Deinen Maschinen aber gar nichts zu tun haben ! Baust Du Dampfmaschinen ? (ich frage nur wegen Deines Nicknames "Steem" (eigentlich "steam"))
Nicht böse sein, wegen dieses kleines Scherzes auf Deine Kosten
Gruß
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