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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Markov-Kette
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Markov-Kette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Sa 15.12.2018
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei [mm] \ell=\IN, L=\{1,...,\ell \} [/mm] und
[mm] S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall k\in\{1,...,\ell-1\}\} [/mm]
Für [mm] x\in \{0,1\}^L [/mm] und für [mm] r\in [/mm] L sei [mm] x^{(r)}\in \{0,1\}^L [/mm] wie folgt definiert:

[mm] x_k^{(r)}=\begin{cases} 1-x_k, & \mbox{falls } k=r \\ x_k, & \mbox{sonst } \end{cases}. [/mm]

Offensichtlich ist 0 [mm] =(0,...,0)\in [/mm] S. Die zeitlich homogene Markov-Kette [mm] X=(X_n)_{n\ge 0} [/mm] wird wie folgt definiert: Die Kette startet in 0. Ist die Kette gegenwärtig im Zustand [mm] x\in [/mm] S, dann wird zunächst ein uniform zufälliger Index [mm] r\in [/mm] L gewählt. Ist [mm] x^{(r)}\in [/mm] S, dann springt die Kette von x nach [mm] x^{(r)}, [/mm] andernfalls verbleibt die Kette in x.

(a) Bestimme S für [mm] \ell [/mm] =1, [mm] \ell [/mm] =2, [mm] \ell [/mm] =3.
(b) Bestimme allgemein |S|.
(c) Bestimme die Übergangsmatrix K für [mm] \ell [/mm] =1, [mm] \ell =2,\ell [/mm] =3.
(d) Bestimme allgemein die Einträge der Übergangsmatrix K außerhalb der Diagonale.
(e) Es sei [mm] \vi=\bruch{1}{|S|}(1,...,1)\in [0,1]^S. [/mm] Zeige [mm] \vi K=\vi [/mm]

Hallo zusammen,

zu a) [mm] \ell =1\Rightarrow L=\{1\} [/mm]
Also

[mm] S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall \;k\in\{1,0\}\} [/mm]
d.h. [mm] x_1=0 [/mm] ?

[mm] \ell=2 \Rightarrow L=\{1,2\} [/mm]
Also
[mm] S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall k\in\{1\}\} [/mm]
Ich habe nun alle möglichen Tupel der Länge 2 betrachet mit 0,1 Einträge
Sei [mm] x_1=(0,1), [/mm] dann kann [mm] x_2=(1,0) [/mm] oder [mm] x_2=(0,0), [/mm] sodass
[mm] x_1x_2=0 [/mm] erfüllt ist.

Sei [mm] x_1=(1,0), [/mm] dann kann [mm] x_2=(0,1) [/mm] oder [mm] x_2=(0,0), [/mm] sodass [mm] x_1x_2=0 [/mm] erfüllt ist

Sei [mm] x_1=(0,0), [/mm] dann kann [mm] x_2=(1,0) [/mm] oder [mm] x_2=(0,1) [/mm] oder [mm] x_2=(1,1), [/mm] sodass
...erfüllt ist

Sei [mm] x_1=(1,1), [/mm] dann kann nur [mm] x_2=(0,0), [/mm] sodass die Bedingung erfüllt wird.

Was sind nun die Elemente von S? Alle die aufgezählten 2-Tupeln?

[mm] \ell =3\Rightarrow L=\{1,2,3\} [/mm]

[mm] S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall k\in\{1, 2\}\} [/mm]

Nun wäre ich wie folgt vorangegangen wie für [mm] \ell [/mm] =2. Nun für alle Tupel der Länge 3 betrachtet:

[mm] x_1=(0,1,0)\Rightarrow x_2=(1,0,1)\vee x_2=(1,0,0)\vee x_2=(0,0,0)\vee x_2=(0,0,1) [/mm]

[mm] x_1=(0,0,1)\Rightarrow x_2=(1,1,0)\vee x_2=(0,0,0)\vee x_2=(1,0,0)\vee x_2=(0,1,0) [/mm]

[mm] \vdots [/mm]

Stimmt es soweit? Kann mir jemand weiterhelfen? Danke!



        
Bezug
Markov-Kette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Sa 15.12.2018
Autor: steppenhahn

Hallo,



> zu a) [mm]\ell =1\Rightarrow L=\{1\}[/mm]
>  Also
>  
> [mm]S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall \;k\in\{1,0\}\}[/mm]

Nein. Die Menge $k [mm] \in \{1,...,l-1\}$ [/mm] ganz hinten in der Definition von $S$ ist nun leer. D.h. die Definition lautet für $l = 1$ nur:

$S = [mm] \{x = (x_1) \in \{0,1\}\}$, [/mm] d.h. $S = [mm] \{0,1\}$. [/mm]



> [mm]\ell=2 \Rightarrow L=\{1,2\}[/mm]
>  Also
>  [mm]S=\{x=(x_k)_{k\in L}\in \{0,1\}^L:x_kx_{k+1}=0 \;\forall k\in\{1\}\}[/mm]
>  
> Ich habe nun alle möglichen Tupel der Länge 2 betrachet
> mit 0,1 Einträge
>  Sei [mm]x_1=(0,1),[/mm] dann kann [mm]x_2=(1,0)[/mm] oder [mm]x_2=(0,0),[/mm] sodass
>  [mm]x_1x_2=0[/mm] erfüllt ist.

> Sei [mm]x_1=(1,0),[/mm] dann kann [mm]x_2=(0,1)[/mm] oder [mm]x_2=(0,0),[/mm] sodass
> [mm]x_1x_2=0[/mm] erfüllt ist
>  
> Sei [mm]x_1=(0,0),[/mm] dann kann [mm]x_2=(1,0)[/mm] oder [mm]x_2=(0,1)[/mm] oder
> [mm]x_2=(1,1),[/mm] sodass
>  ...erfüllt ist
>  
> Sei [mm]x_1=(1,1),[/mm] dann kann nur [mm]x_2=(0,0),[/mm] sodass die
> Bedingung erfüllt wird.
>  
> Was sind nun die Elemente von S? Alle die aufgezählten
> 2-Tupeln?

Ja, aber auch hier hast du es nicht ganz richtig gemacht. Die Menge $S$ selbst besteht einfach nur aus 2-Tupeln, nicht jedes Element [mm] $x_1,x_2$ [/mm] ist ein 2-Tupel.
Mit $l = 1$ lautet die Definition von $S$:

$S = [mm] \{x = (x_1,x_2) \in \{0,1\}^2: x_1 \cdot x_2 = 0\}$ [/mm]

d.h. suche alle 2-Tupel $x = [mm] (x_1,x_2)$, [/mm] wo [mm] $x_1,x_2$ [/mm] jeweils 0 oder 1 sind und [mm] $x_1\cdot x_2 [/mm] = 0$ (d.h. [mm] $x_1 [/mm] = 0$ oder [mm] $x_2 [/mm] = 0$). Ich komme da auf:

$S = [mm] \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$. [/mm]



> [mm]\ell =3\Rightarrow L=\{1,2,3\}[/mm]

Hier entsprechend:

$S = [mm] \{x = (x_1,x_2,x_3)\in \{0,1\}^3: x_1 \cdot x_2 = 0, x_2 \cdot x_3 = 0\}$. [/mm]

Was sind hier alle möglichen Elemente?


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Markov-Kette: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:15 So 16.12.2018
Autor: questionpeter

Vielen Dank Stefan.

Eine Frage: für [mm] \ell [/mm] = 2: Ist (1,1) nicht auch in S enthalten?

für [mm] \ell [/mm] =3: [mm] S=\{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)\}. [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Markov-Kette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 So 16.12.2018
Autor: questionpeter

zu meine Frage vorher: Hat sich geklärt.

zu [mm] \ell [/mm] =3: [mm] S=\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)\}. [/mm]

zu b) ist Fibonacco-Folge.

Wie bestimme ich davon nun die Übergangsmatrizen? ich wäre für jeden Tipp dankbar.

Bezug
                                
Bezug
Markov-Kette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 17.12.2018
Autor: steppenhahn

Hallo,

> zu [mm]\ell[/mm] =3: [mm]S=\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)\}.[/mm]

Das sieht in Ordnung aus.
  

> zu b) ist Fibonacco-Folge.

Das kann sein.
Ich vermute aber, dass in der Aufgabe auch ein Beweis dafür verlangt wird.
Evtl. geht es mit Induktion.

> Wie bestimme ich davon nun die Übergangsmatrizen? ich
> wäre für jeden Tipp dankbar.

Für l = 1:

Mögliche Zustände sind $x = 0,1$, d.h. deine Übergangsmatrix muss folgende Gestalt haben:

$P = [mm] \begin{pmatrix}p_{00} & p_{01}\\ p_{10} & p_{11}\end{pmatrix}$ [/mm]

wobei [mm] $p_{ij}$ [/mm] die WS angibt, von $i$ nach $j$ zu kommen.

In der Aufgabe steht, dass in jedem Schritt (aktueller Zustand $x$) ein Index $r [mm] \in \{1,...,l\}$ [/mm] ausgewählt wird.

Bei $l = 1$ wird also immer $r = 1$ ausgewählt.

Dann wird [mm] $x^{(r)}$ [/mm] angeschaut, wobei bei dir

[mm] $x_k^{(r)} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 - x_k, & k = r\\ x_k, & k = r \end{cases}$. [/mm]

Wie sieht bei dir also [mm] $x^{(r)}$ [/mm] aus, wenn $r = 1$? Ist das wieder in $S$? Springt die Kette also zu [mm] $x^{(r)}$ [/mm] oder bleibt sie in $x$ ?

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Markov-Kette: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:46 Mo 17.12.2018
Autor: questionpeter

für [mm] \ell=1: [/mm] r=1 also

[mm] x_1^{(1)}=1-x_1, [/mm] also [mm] x_1^{(1)} [/mm] liegt wieder in S, da [mm] x_1\in \{0,1 \}. [/mm]

für [mm] \ell=2\Rightarrow r\in \{1,2\}. [/mm] Sei r=1, dann

[mm] x_1^{(1)}=1-x_1 [/mm] und [mm] x_2^{(1)}=x_2 [/mm] also

Sei r=2, dann
[mm] x_1^{(2)}=x_1 [/mm] und [mm] x_2^{(2)}=1-x_2 [/mm]

und für [mm] \ell =3\Rightarrow r\in\{1,2,3\} [/mm] Sei r=1, dann
[mm] x_1^{(1)}=1-x_1\wedge x_2^{(1)}=x_2 \wedge x_3^{(1)}=1-x_3 [/mm]

Sei r=2, dann
[mm] x_1^{(2)}=x_1\wedge x_2^{(2)}=1-x_2\wedge x_3^{(2)}=x_3 [/mm]

Sei  r=3, dann
[mm] x_1^{(3)}=x_1\wedge x_2^{(3)}=x_2\wedge x_3^{(3)}=1-x_3 [/mm]        


Stimmt das?


Bezug
                                                
Bezug
Markov-Kette: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 19.12.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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