Markov Ketten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Di 05.07.2016 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | Bei einem Geschicklichkeitsspiel werden gleichartige Bauklötze
übereinandergetürmt. Hat
der Turm die Höhe n
erreicht, so bleibt er nach Hinzufügen eines weiteren Bauteils mit
Wahrscheinlichkeit [mm] q_{n}
[/mm]
stehen. Mit Wahrscheinlichkeit [mm] 1-q_{n} [/mm] stürzt er jedoch ein und das
Spiel beginnt von neuem. Es sei [mm] q_{0}=1.
[/mm]
a)Beschreiben Sie das Spielgeschehen als Markov-Kette [mm] (X_{n})_{n\in\IN}
[/mm]
mit Zustandsraum [mm] \IN
[/mm]
durch Angabe der zugehörigen
Übergangsmatrix.
b) Nun sei [mm] X_{0}:=0 [/mm] und T:=min{n>=1: [mm] X_{n} [/mm] = 0} der Zeitpunkt, zu dem der Turm das erste Mal einstürzt. Zeigen Sie : Genau dann ist P(T< [mm] \infty) [/mm] = 1, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}*...*q_{n}=0 [/mm] gilt. |
Hallo,
für die a) habe ich die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 1&0&0 \\ 1-q_{1} & 0&q_{1}&0 \\ 1-q_{2} & 0&0&q_{2} \\1-q_{3} & 0&0&0 } [/mm] für den Fall n=3 (ich weiß nicht wie ich es mit diesem Editor darstellen kann, aber für den allgemeinen Fall n sieht die Matrix analog bei mir wie für 3 aus)
und b) scheint das irgendwie klar zu sein, aber ich habe Probleme den Beweis formal aufzuschreiben. Für die Hinrichtung habe ich erstmal
P(T< [mm] \infty) [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] 1-P(T< [mm] \infty) [/mm] = 0 [mm] \gdw 1-q_{1}*...*q_{n-1}*(1-q_{n})=0 \gdw 1-q_{1}*...*q_{n-1}-q_{1}*...*q_{n}=0
[/mm]
und nun komm ich nicht mehr weiter, habe es durch mehr Umformungen probiert, aber keines davon führt zum Ziel.
Bei der Rückrichtung habe ich das selbe Problem
P(T< [mm] \infty) [/mm] = [mm] q_{1}*...*q_{n-1}*(1-q_{n}) [/mm] = [mm] 1-q_{1}*...*q_{n-1}-q_{1}*...*q_{n}
[/mm]
und hier macht es auch keinen sinn den limes zu nehmen, denn dann käme 0-0=0 raus...
Gruß Septime
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Di 05.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Bei einem Geschicklichkeitsspiel werden gleichartige
> Bauklötze
> übereinandergetürmt. Hat
> der Turm die Höhe n
> erreicht, so bleibt er nach Hinzufügen eines weiteren
> Bauteils mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]q_{n}[/mm]
> stehen. Mit Wahrscheinlichkeit [mm]1-q_{n}[/mm] stürzt er jedoch
> ein und das
> Spiel beginnt von neuem. Es sei [mm]q_{0}=1.[/mm]
>
> a)Beschreiben Sie das Spielgeschehen als Markov-Kette
> [mm](X_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> mit Zustandsraum [mm]\IN[/mm]
> durch Angabe der zugehörigen
> Übergangsmatrix.
>
> b) Nun sei [mm]X_{0}:=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und T:=min{n>=1: [mm]X_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} der
> Zeitpunkt, zu dem der Turm das erste Mal einstürzt. Zeigen
> Sie : Genau dann ist P(T< [mm]\infty)[/mm] = 1, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}*...*q_{n}=0[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> für die a) habe ich die Matrix
> [mm]\pmat{ 0 & 1&0&0 \\ 1-q_{1} & 0&q_{1}&0 \\ 1-q_{2} & 0&0&q_{2} \\1-q_{3} & 0&0&0 }[/mm]
> für den Fall n=3 (ich weiß nicht wie ich es mit diesem
> Editor darstellen kann, aber für den allgemeinen Fall n
> sieht die Matrix analog bei mir wie für 3 aus)
>
> und b) scheint das irgendwie klar zu sein, aber ich habe
> Probleme den Beweis formal aufzuschreiben. Für die
> Hinrichtung habe ich erstmal
>
> P(T< [mm]\infty)[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] 1-P(T< [mm]\infty)[/mm] = 0 [mm]\gdw 1-q_{1}*...*q_{n-1}*(1-q_{n})=0 \gdw 1-q_{1}*...*q_{n-1}-q_{1}*...*q_{n}=0[/mm]
>
> und nun komm ich nicht mehr weiter, habe es durch mehr
> Umformungen probiert, aber keines davon führt zum Ziel.
Dieser Ausdruck für $P(T< [mm] \infty)$ [/mm] stimmt nicht; beachte, dass die Anzahl der abgelegten Klötze beliebig gross werden kann. Benutze also [mm] $P(T<\infty)= \sum_{n=1}^{\infty} [/mm] P(T=n)$, wobei das $P(T=n)$ ungefähr so ausieht, wie der Ausdruck, den Du ins Spiel gebracht hast.
> Bei der Rückrichtung habe ich das selbe Problem
>
> P(T< [mm]\infty)[/mm] = [mm]q_{1}*...*q_{n-1}*(1-q_{n})[/mm] =
> [mm]1-q_{1}*...*q_{n-1}-q_{1}*...*q_{n}[/mm]
>
> und hier macht es auch keinen sinn den limes zu nehmen,
> denn dann käme 0-0=0 raus...
>
> Gruß Septime
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Di 05.07.2016 | | Autor: | Septime |
Das heißt dann also, dass mit der Teleskopsumme gilt
[mm] P(T<\infty) [/mm] = [mm] 1-q_{1}+q_{1}-q_{1}q_{2}+q_{1}q_{2}-... [/mm] = [mm] 1-\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n} [/mm] (darf man das so aufschreiben?)
und für die Hinrichtung gilt dann mit [mm] 1-\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}=1, [/mm] dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}= [/mm] 0 und für die Rückrichtung folgt
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}=0, [/mm] dass [mm] P(T<\infty) [/mm] = 1.
Stimmt das so ?
Gruß Septime
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 05.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Das heißt dann also, dass mit der Teleskopsumme gilt
>
> [mm]P(T<\infty)[/mm] = [mm]1-q_{1}+q_{1}-q_{1}q_{2}+q_{1}q_{2}-...[/mm] =
> [mm]1-\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}[/mm] (darf man das so
> aufschreiben?)
Ich würde statt [mm] $1-q_{1}+q_{1}-q_{1}q_{2}+q_{1}q_{2}-...$ [/mm] die korrektere Schreibweise mit dem Summenzeichen benutzen. Sonst ist es aber nicht falsch, wenn auch sehr knapp. Da Du aus der Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz eines Produktes schliessen möchtest, und umgekehrt, könnte man die Zusammenhänge gerne näher ausführen. Aber vielleicht wird es auch nicht erwartet.
>
> und für die Hinrichtung gilt dann mit
> [mm]1-\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}=1,[/mm] dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}=[/mm] 0 und für die
> Rückrichtung folgt
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}q_{1}...q_{n}=0,[/mm] dass
> [mm]P(T<\infty)[/mm] = 1.
> Stimmt das so ?
>
> Gruß Septime
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