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Forum "stochastische Prozesse" - Markov und Rückkehrzeiten
Markov und Rückkehrzeiten < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Markov und Rückkehrzeiten: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:18 Do 01.02.2018
Autor: Kruemelmonster2

Aufgabe
Ich gehe grade mein Skript durch und bin auf folgenden Beweis gestoßen in dem ich bemerkt habe, dass bei mir noch einige Sachen unverstanden sind.

Lemma: Sei [mm] $y\in [/mm] S$. Dann gilt für alle [mm] $k\in \IN$: [/mm]

[mm] $\IP_{y} (R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n) [/mm] = [mm] (\rho_{yy})^k [/mm] $


Der Beweis sieht nun folgendermaßen aus:

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion über [mm] $k\in \IN$. [/mm]
Die Aussage gilt offensichtlich für den Induktionanfang $k=1$.

Für den Induktionsschritt nehmen wir an, wir haben obiges bereits für ein [mm] $k\in \IN$ [/mm] gezeigt. Wir wollen daraus schließen, dass dies auch für $k+1$ gilt.

Sei [mm] $R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}})$ [/mm] die zur Markovkette [mm] $(X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}$ [/mm] gehörige Rückkehrzeit zu $y$.

Dann gilt [mm] $R_{y}^{k+1} [/mm] = [mm] R_{y}((X_{R}_{y}^{k}+n)_{n\in \IN_{0}})$. [/mm]
Somit folgt aus der starken Markov Eigenschaft (angewandt auf die Stoppzeit [mm] $R_{y}^{k})$, [/mm] dass

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n)=\IP_{y}(R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) = [mm] \IP_{y}(R_{y}<\infty)$ [/mm]      (2.5)


und somit folgt aus der Induktionsvorraussetzung:

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )$

$= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

[mm] $=\sum_{n\in \IN} \IP_{y} (R_{y} <\infty [/mm] ) [mm] \cdot \IP(R_{y}^{k}=n)$ [/mm]

[mm] $=\IP_{y} (R_{y}<\infty [/mm] ) [mm] \cdot \IP_{y}(R_{y}^{k}<\infty) [/mm] $

[mm] $=\rho_{yy}\cdot (\rho_{yy})^k [/mm] $

[mm] $=(\rho_{yy})^{k+1} [/mm]

Das erste wo ich mir nicht ganz sicher bin, ist die Anwendung der starken Markoveigenschaft in der ersten Gleichung (2.5):

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n)=\IP_{y}(R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) = [mm] \IP_{y}(R_{y}<\infty)$. [/mm]

Also die starke Markoveigenschaft sagt ja, dass wir die ersten n Zufallsvariablen vernachlässigen können. Deswegen fällt die Bedinung [mm] R_{y}^{k}=n [/mm] weg oder wie?

Kommen wir nun zu dem unteren:

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

müsste es nicht auch

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP_{y} (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

heißen oder wo ist das $y$ sonst hin gewandert?
Hier wurde doch nur der Satz der totalen Wkt. angewandt oder sehe ich das falsch?

Als nächstes wurde dann (2.5) angewandt und dann die Tatsache, dass

[mm] \sum_{n\in \IN} \IP (R_{y}^{k}=n) [/mm] = [mm] \IP(R_{y}^{k}<\infty) [/mm]

und dann die IV.

Wäre nett wenn mir jemand nen bisschen auf die Sprünge helfen könnte. Ich muss sagen, dass ich mir mit der starken MK eh noch etwas schwer tue.





        
Bezug
Markov und Rückkehrzeiten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 05.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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