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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | Die drei Firmen ATech, BTech und CTech führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein. Zu Beginn besitzt ATech 40%, BTech 20% und CTech 40% Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert ATech 5% seiner Kunden an BTech und 10% an CTech, BTech gibt 15% seiner Kunden an ATech und 10% an CTech ab, und CTech verliert jeweils 5% seiner Kunden an ATech und BTech. Während der folgenden Jahre verändern sich die Marktanteile stets nach demselben Schema.
Aufgabe:
Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres? |
Hallo!
Zuerst einmal habe ich eine Übergangsmatrize erstellt, und die sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,15 & 0,05 \\ 0,05 & 0,2 & 0,05 \\ 0,1 & 0,1 & 0,4}
[/mm]
Ist die so richtig?
Wie komme ich nun darauf, welche Markanteile die Firmen besitzen?
Muss ich die ganze Matrize dann einfach mal zwei, mal drei nehmen...!?
Kann ich mir schwer vorstellen, da es mir zu einfach vorkommt.
Danke für eure Hilfe,
Simone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 So 18.11.2007 | | Autor: | Fanca |
Weiß denn niemand Bescheid?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 18.11.2007 | | Autor: | Primat |
Hallo Simone!
So ganz kann ich Deinem Ergebnis da nicht zustimmen, wobei auch nicht ganz klar ist, welche Spalte, bzw Zeile in Deiner Matrix was darstellt. Hier mal mein Vorschlag:
Aus der Aufgabe geht hervor
> Zu Beginn besitzt
> ATech 40%, BTech 20% und CTech 40% Marktanteil.
damit ist Dir also die Eingangsverteilung der Marktanteile gegeben, diese bezeichnen wir jetzt mal als [mm] \vec{x} [/mm] mit [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}
[/mm]
wobei [mm] x_{1} [/mm] die Marktanteile von Atech, [mm] x_{2} [/mm] die von Btech und [mm] x_{3} [/mm] die von Ctech angeben soll, also [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0,4 \\0,2 \\ 0,4}.
[/mm]
Nun zur Matrix - es hilft (mir) meist, eine kleine Skizze dazu zu machen. Ein Dreieck ABC und dann mit Pfeilen einfach mal eintragen, wer da was an wen verliert. Jetzt ist noch wichtig zu berücksichtigen, dass ja nur ein Austausch der Anteile stattfindet, also dass nach dem ganzen Hin-und Hergetausche noch immer 100% Marktanteile auf die drei Firmen verteilt sein müssen. Wenn also Atech 5% an Btech und 10% an Ctech verliert, müssen 85% bei Atech bleiben. Bei Btech bleiben 75% und bei Ctech 90%.
Gesucht ist jetzt die Matrix M, die diesen Prozess beschreibt, d.h. M [mm] \cdot \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{y}, [/mm] wobei [mm] \vec{y} [/mm] die Ausgangswerte der Marktanteile der Firmen liefert.
>Während des
> ersten Jahres verliert ATech 5% seiner Kunden an BTech und
> 10% an CTech, BTech gibt 15% seiner Kunden an ATech und 10%
> an CTech ab, und CTech verliert jeweils 5% seiner Kunden an
> ATech und BTech. Während der folgenden Jahre verändern sich
> die Marktanteile stets nach demselben Schema.
M=[mm]\pmat{ a_{1;1} & a_{1;2} & a_{1;3} \\ a_{2;1} & a_{2;2} & a_{2;3} \\ a_{3;1} & a_{3;2} & a_{3;3}}[/mm]
Die erste Zeile erklärt die Enticklung für Atech, die Zweite die für Btech und die Dritte die für Ctech, also [mm] a_{1;1} [/mm] beschreibt die Entwicklung von Atech zu Atech (also die 85% = 0,85), [mm] a_{1;2} [/mm] die Entwicklung Btech zu Atech (=0,15),
[mm] a_{1;3} [/mm] beschreibt Ctech zu Atech (=0,05), [mm] a_{2;1} [/mm] beschreibt Atech zu Btech u.s.w.
So entsteht die Matrix M=[mm]\pmat{ 0,85 & 0,15 & 0,05 \\ 0,05 & 0,75 & 0,05 \\ 0,1 & 0,1 & 0,9}}[/mm]
Jetzt kann man übrigens daran, dass die Summe jeder Spalte = 1 ist, das ist ein sicheres Zeichen für einen Austauschprozess...
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> Aufgabe:
> Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des
> ersten, zweiten und dritten Jahres?
[mm] M\cdot \vec{x} [/mm] liefert ja [mm] \vec{y}, [/mm] also die Verteilung nach einem Jahr. [mm] M\cdot \vec{y} [/mm] die Verteilung nach zwei Jahren und so weiter.
>
> Wie komme ich nun darauf, welche Markanteile die Firmen
> besitzen?
Einfach Matrix mal Vektor - rechnen musst Du jetzt 
allgemein ist ja [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{(a \cdot x) + (b \cdot y) \\ (c \cdot x) + (d \cdot y)}
[/mm]
> Muss ich die ganze Matrize dann einfach mal zwei, mal drei
> nehmen...!?
Nein, dafür müßtest Du die Matrix mit sich selbst multiplizieren, also [mm] M^{2} [/mm] bzw [mm] M^{3} [/mm] bilden, und wenn Du danach jeweils noch mit [mm] \vec{x} [/mm] multiplizierst geht das auch, ist aber in diesem Fall viiiiiel aufwendiger.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen 
LG, Primat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 So 18.11.2007 | | Autor: | Fanca |
Hallo!
Danke dir für die gute ausführlich Antwort!
Jetzt wird mir einiges klarer.
So eine Skizze a la Dreieck ABC hatte ich bereits gemacht, bloß hab ich die Prozenanteile falsch zugeordnet.
Gruß,
Simone> Hallo Simone!
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