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| Aufgabe | Satz (optional sampling)
Sei [mm](X_n,\mathcal F_n)[/mm] ein Submartingal, [mm]T_1\le T_2\le \ldots[/mm] Stoppzeiten mit
1) [mm]X_{T_n}[/mm] integrierbar
2) [mm]\liminf\limits_{k\to\infty} E\left[1_{(T_n>k)}|X_k|\right]=0[/mm]
Dann ist [mm](X_{T_n},\mathcal F_{T_n})[/mm] ein Submartingal. |
Hallo zusammen,
wir hatten [mm]F_T=\{A\in\mathcal F: A\cap\{T\le n\}\in\mathcal F_n \ \forall n\in\IN\}[/mm] als die Menge aller bis [mm]T[/mm] eingetretenen Ereignisse definiert und gesagt, dies sei eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
Analog ist [mm]\mathcal F_{T_n}[/mm] wohl zu verstehen.
Aber was in aller Welt soll [mm]X_{T_n}[/mm] sein?
Im Index eine ZV ??
Dann noch wie üblich die Verständnisfrage: Was sagt mir der Satz?
Wie kann ich mir so ein "optional sampling" vorstellen (und was heißt es genau auf dt.?)
Danke wie immer!!
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
ich schon wieder 
Und mal wieder beantworten wir deine Frage stückweise:
> Aber was in aller Welt soll [mm]X_{T_n}[/mm] sein?
>
> Im Index eine ZV ??
Jap, genau das. Schreibt man es [mm] $\Omega$-weise [/mm] hin, steht da:
[mm]X_{T_n(\omega)}(\omega)[/mm].
Klüselt man das auseinander, wird es vielleicht etwas verständlicher:
Sei [mm] $\omega \in \Omega$
[/mm]
[mm] T_n [/mm] ist eine Stoppzeit und sei [mm] $t^\* [/mm] = [mm] T_n(\omega)$
[/mm]
Dann ist:
[mm] X_{T_n(\omega)}(\omega) [/mm] = [mm] X_{t^\*}(\omega)$
[/mm]
[mm] $X_{T_n(\omega)}(\omega)$ [/mm] ist also der Wert des Prozesses zum Zeitpunkt [mm] $T_n(\omega)$
[/mm]
> Dann noch wie üblich die Verständnisfrage: Was sagt mir
> der Satz?
> Wie kann ich mir so ein "optional sampling" vorstellen (und
> was heißt es genau auf dt.?)
Schön in Worte gefasst hat das eigentlich der zugehörige ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel
MFG,
Gono.
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Hey Gono,
wieder einmal vielen Dank für deine gute Antwort!
LG
schachuzipus
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