Maß einer offenen Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 So 08.05.2005 | | Autor: | Maddin84 |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Geben sie zu einem [mm] \varepsilon [/mm] >0 eine offene Menge (d.h einer Vereinigung offener Intervalle) an, welche die rationalen Zahlen enthält und deren Maß kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Ich habe keiner Ahnung wie so eine Menge aussehen soll. Kann mir da vielleicht jemand helfen.
Danke,
Maddin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe keiner Ahnung wie so eine Menge aussehen soll.
> Kann mir da vielleicht jemand helfen.
Rationale Zahlen sind abzählbar, weiter benutze geometrische Reihe.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Trotz Überfälligkeit der Frage möchte ich zwecks späterer Verlinkungsmöglichkeit noch die Lösung angeben:
Für [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] sei
[mm] $A_{\varepsilon}:= \bigcup\limits_{n \in \IN} \left]q_n-\frac{\varepsilon}{2^{n+2}}, q_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+2}} \right[$,
[/mm]
wobei [mm] $(q_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Abzählung der rationalen Zahlen ist.
Dann gilt:
[mm] $\lambda \left(A_{\varepsilon} \right) \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot \frac{\varepsilon}{2^{n+2}} [/mm] = [mm] \varepsilon \, \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 10.05.2005 | | Autor: | jkingk |
Hallo,
hab auch eine Frage zu deiner antwort. Deine Intervallgrößen sind ja jetzt von Epsilon abhängig. kann es nicht sein, dass sich die Intervalle bei zu großem epsilon überschneiden?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 10.05.2005 | | Autor: | jkingk |
Stimmt, danke. Hatte gedacht die Vereinigung müsste disjunkt sein...
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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