www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Maß, integral
Maß, integral < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Maß, integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Do 30.10.2014
Autor: knowhow

Aufgabe
Sei f:X [mm] \rightarrow [0,\infty] [/mm] messba bezüglich eines Maßes [mm] \mu. [/mm] Für t>0 zeige:

[mm] \mu(\{f \ge t\}) \le t^{-1}\integral_{X} fd\mu [/mm]

hallo,
kann mir da jemand einen tipp geben was ich da machen muss.
in der vorlesung haben wir folg def.

[mm] \integral_{X}f(x)d\mu(x)=sup \integral_{X}s(x)d\mu(x) [/mm] wobei [mm] s\le [/mm] f. kann man es anwenden? wie kann ich ein maß dann mit einen integral abschätzen?kann mir jemand weiterhelfen, weiß leider nicht wirklich weiter.
dankeschön im voraus

gruß,
knowhow

        
Bezug
Maß, integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Fr 31.10.2014
Autor: tobit09

Hallo knowhow!


> Sei f:X [mm]\rightarrow [0,\infty][/mm] messba bezüglich eines
> Maßes [mm]\mu.[/mm] Für t>0 zeige:
>  
> [mm]\mu(\{f \ge t\}) \le t^{-1}\integral_{X} fd\mu[/mm]


> kann mir da jemand einen tipp geben was ich da machen muss.
> in der vorlesung haben wir folg def.
>  
> [mm]\integral_{X}f(x)d\mu(x)=sup \integral_{X}s(x)d\mu(x)[/mm] wobei
> [mm]s\le[/mm] f.

Mit $s$ was für eine Funktion?


> kann man es anwenden?

Das braucht man hier je nach bekannten Eigenschaften des Integrals nicht explizit.


> wie kann ich ein maß dann
> mit einen integral abschätzen?

Stichworte:

     [mm] $\mu(A)=\integral_X 1_A\;dP=\integral_Xt^{-1}*t*1_A\;dP=t^{-1}\integral_X t*1_A\;dP [/mm]

(Welche Eigenschaft des Integrals habe ich im letzten Schritt benutzt?), Monotonie des Integrals.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Maß, integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 So 02.11.2014
Autor: knowhow

nochmals vielen dank. hat mir wirklich weitergeholfen, da es nicht in unseren skript stand, dass das Integral der charakt. Fkt als Maß schreiben kann.

als ich habe dann mit hilfe von deinen Hinweis folg. gemacht:
Sei [mm] A={f\ge t} [/mm] dann

[mm] \mu(A)=\integral_{X}1_A d\mu=\integral_{X}t^{-1}t\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral t\cdot 1_A d\mu \le t^{-1} \integral_{X} f\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral_{X}f d\mu [/mm]

ist es soweit richtig? ist damit der Beiweis fertig?
kann man [mm] t^{-1} [/mm] herausziehern aus dem Integral weil es eine Konstante ist? aber das kann ja auch nciht sein, da t auch eine fkt wie f ist, oder?
Dankeschön im voraus.

Bezug
                        
Bezug
Maß, integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 So 02.11.2014
Autor: tobit09


> nochmals vielen dank. hat mir wirklich weitergeholfen, da
> es nicht in unseren skript stand, dass das Integral der
> charakt. Fkt als Maß schreiben kann.

Das sollte aus eurer Definition des Integrals für "einfachere" Funktionen als beliebige nichtnegative messbare numerische Funktionen folgen.


> als ich habe dann mit hilfe von deinen Hinweis folg.
> gemacht:
>  Sei [mm]A=\{f\ge t\}[/mm]

Guter Ansatz!

> dann
>  
> [mm]\mu(A)=\integral_{X}1_A d\mu=\integral_{X}t^{-1}t\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral t\cdot 1_A d\mu \le t^{-1} \integral_{X} f\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral_{X}f d\mu[/mm]

Das Zeichen [mm] $\le$ [/mm] gilt wegen [mm] $t*1_A\le f*1_A$ [/mm] (Warum?) und der Monotonie des Integrals.

Das letzte Gleichheitszeichen ist im Allgemeinen falsch.
Du kannst es aber durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzen.
Warum? (Hier geht u.a. [mm] $f\ge [/mm] 0$ ein.)


> ist damit der Beiweis fertig?

Bis auf die obigen Hinweise ja.


>  kann man [mm]t^{-1}[/mm] herausziehern aus dem Integral weil es
> eine Konstante ist?

Ja, nach der Linearität des Integrals.


> aber das kann ja auch nciht sein, da t
> auch eine fkt wie f ist, oder?

Nein, $t$ ist eine reelle Zahl $>0$.

Bezug
                                
Bezug
Maß, integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 So 02.11.2014
Autor: knowhow

danke nochmals für kontrollieren.
das 1. ungleichzeichen ensteht aufgrund f [mm] \ge [/mm] t.

aber ich verstehe nicht warum beim letzten = ein [mm] \le [/mm] hinkommt. Was bewirkt diese charaktische funktion bzw. was ist diese charakteristische Funktion? darunter verstehe ich eine funktion die nur die werte 1 und 0 annimmt.

Bezug
                                        
Bezug
Maß, integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 So 02.11.2014
Autor: tobit09


> danke nochmals für kontrollieren.
>  das 1. ungleichzeichen ensteht aufgrund f [mm]\ge[/mm] t.

Hm, es gilt im Allgemeinen nicht [mm] $f\ge [/mm] t$ (was [mm] $f(x)\ge [/mm] t$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ bedeuten würde).


> aber ich verstehe nicht warum beim letzten = ein [mm]\le[/mm]
> hinkommt.

Warum sollte Gleichheit gelten?

Wegen [mm] $f*1_A\le [/mm] f$ und der Monotonie des Integrals gilt

     [mm] $\integral_X f*1_A\;dP\le\integral_X f\;dP$. [/mm]


> Was bewirkt diese charaktische funktion bzw. was
> ist diese charakteristische Funktion? darunter verstehe ich
> eine funktion die nur die werte 1 und 0 annimmt.

Die Frage ist essentiell: Ohne zu wissen, was [mm] $1_A$ [/mm] bedeutet, kannst du natürlich meine Schritte nicht verstehen.

[mm] $1_A$ [/mm] für [mm] $A\subseteq [/mm] X$ ist eine bestimmte Funktion, die nur die Werte 1 und 0 annimmt, und zwar die Funktion

      [mm] $1_A\colon X\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}1\text{ für }x\in A\\0\text{ für }x\notin A\end{cases}$. [/mm]


Warum gilt nun [mm] $t*1_A\le f*1_A$ [/mm] für [mm] $A=\{f\ge t\}=\{x\in X\;|\;f(x)\ge t\}$? [/mm]

Also warum gilt [mm] $t*1_A(x)\le f(x)*1_A(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$?

Unterscheide dazu die Fälle:
1. [mm] $x\in [/mm] A$ (Das bedeutet wegen [mm] $A=\{f\ge t\}$?) [/mm]
2. [mm] $x\notin [/mm] A$.


Überlege dir danach auf ähnliche Weise, dass tatsächlich [mm] $f*1_A\le [/mm] f$ gilt (hier benötigst du [mm] $f\ge0$). [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de