Maß und Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 26.04.2009 | | Autor: | ziuzia |
| Aufgabe | Sie [mm] X=\IR. [/mm] Für welche Sigma-Algebren sind die folgenden Mengenfunktionen Maße?
a) [mm] f(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn A =} \emptyset \\ 1, & \mbox{wenn A} \not= \emptyset \end{cases}
[/mm]
b) [mm] f(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn A endlich} \\ 1, & \mbox{wenn} A ^{C} \mbox {endlich} \end{cases}
[/mm]
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Hallo alle zusammen!
Ich wäre euch super dankbar, wenn ihr mir bei den Aufgaben ein bisschen auf die Sprünge helfen könnten.
Laut der Def. der Maße gilt: [mm] \mu [/mm] (A) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} A_{k}
[/mm]
Aber in a) gilt [mm] \mu [/mm] (A)=1 und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} A_{k}=\infty
[/mm]
Wie bestimme ich eine Sigma-Algebra, so dass F(A) trotzdem ein Maß wird ?
Mit Aufgabeteil habe ich das gleiche Problem.
Vielen Dank im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 26.04.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sie [mm]X=\IR.[/mm] Für welche Sigma-Algebren sind die folgenden
> Mengenfunktionen Maße?
>
> a) [mm]f(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn A =} \emptyset \\ 1, & \mbox{wenn A} \not= \emptyset \end{cases}[/mm]
Also offensichtlich ist diese Funktion ein Maß auf der [mm] $\sigma$-Algebra \{\emptyset,\IR\}. [/mm] Es kann aber keine größere [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] geben, denn wäre [mm] \IR\ne A\ne\emptyset [/mm] für eine Menge A aus einer Algebra über X, so wäre auch [mm] $A^c\ne\emptyset$ [/mm] in dieser Algebra und somit [mm] 1=f(\IR)=f(A\cup A^c)=f(A)+f(A^c)=2, [/mm] Widerspruch.
Bei b) habe ich keine Lösung, aber es offenbar kommen überhaupt nur Mengensysteme in Frage, deren Mengen endlich sind oder ein endliches Komplement besitzen. Außerdem darf es nicht abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen geben.
Beispielsweise ist [mm] \{A\subset\IR\mid A\text{ endlich oder }A^c\text{ endlich}\} [/mm] eine Algebra, die keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist...
Gruß, Robert
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Hallo ziu,
a) wurde ja schon ausreichend für meinen Vorposter beantwortet.
zu b)
Nachdem das erste Posting totaler Blödsinn meinerseits war, ein weiterer Versuch:
Überleg dir erstmal, welche Mengen überhaupt in einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] sein können, auf der [mm] \mu [/mm] ein Maß definiert. Also wie sehen diese Mengen aus?
Nun nimm mal an, es gebe eine unendliche [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Betrachte dann endliche Mengen aus der [mm] \sigma-Algebra [/mm] und vereinige sie.
Was fällt dir auf?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ziuzia |
Also wenn ich eine Sigma-Algebra habe und nehme {2},{4},...usw. als endliche Mengen und vereinige sie, bekomme ich eine unendliche Menge, deren Komplement auch unendlich ist.
Wie finde ich eine Sigma-Algebra in der Sigma-Additivität gilt??
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> Also wenn ich eine Sigma-Algebra habe und nehme
> {2},{4},...usw. als endliche Mengen und vereinige sie,
> bekomme ich eine unendliche Menge, deren Komplement auch
> unendlich ist.
Korrekt, d.h. es gibt keine unendlichen [mm] \sigma-Algebren. [/mm]
Was gibts denn noch für [mm] \sigma-Algebren [/mm] ?
Und was gilt bei denen?
> Wie finde ich eine Sigma-Algebra in der Sigma-Additivität
> gilt??
Na wir sind doch auf dem besten Weg dahin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Di 28.04.2009 | | Autor: | ziuzia |
Meine [mm] \sigma-Algebra [/mm] wurde dann so aussehen: [mm] \mathcal{A} [/mm] ={ [mm] \emptyset, [/mm] M, [mm] M^C [/mm] } wobei M = {[a,b]: a<b, a,b aus R}.
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