Maße < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Di 23.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] P(\IZ) [/mm] die Potenzmenge von [mm] \IZ, [/mm] d.h. die Menge aller Teilmengen von [mm] \IZ. [/mm] Für [mm] A\subset \IZ [/mm] sei [mm] \mu:P(\IZ)\to [0,\infty] [/mm] mit [mm] \mu(A)=\begin{cases} \#A, & A \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{ sonst} \end{cases}, [/mm] wobei #A die Anzahl der Elemente in A bezeichnet.
Zeigen Sie:
i) Für [mm] A_{n} [/mm] paarweise disjunkt und [mm] \bigcup_{n} A_{n}=A [/mm] ist [mm] \mu(A)=\summe_{n}A_{n}.
[/mm]
ii) Für [mm] A,B\in\IZ [/mm] gilt [mm] \mu(A)+\mu(B)=\mu(A\cap B)+\mu(A \cup [/mm] B). |
Hallo. Kann mir vielleicht jemand mal eine Anstoß geben bei dieser Aufgabe, weil ich wirklich nicht verstehe, was genau ich hier machen muss...
Grüße
Emma
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es bezeichne [mm]P(\IZ)[/mm] die Potenzmenge von [mm]\IZ,[/mm] d.h. die Menge
> aller Teilmengen von [mm]\IZ.[/mm] Für [mm]A\subset \IZ[/mm] sei
> [mm]\mu:P(\IZ)\to [0,\infty][/mm] mit [mm]\mu(A)=\begin{cases} \#A, & A \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{ sonst} \end{cases},[/mm]
> wobei #A die Anzahl der Elemente in A bezeichnet.
> Zeigen Sie:
> i) Für [mm]A_{n}[/mm] paarweise disjunkt und [mm]\bigcup_{n} A_{n}=A[/mm]
> ist [mm]\mu(A)=\summe_{n}A_{n}.[/mm]
Das soll wohl lauten: [mm]\mu(A)=\summe_{n}\mu(A_{n})[/mm]
> ii) Für [mm]A,B\in\IZ[/mm] gilt [mm]\mu(A)+\mu(B)=\mu(A\cap B)+\mu(A \cup[/mm]
> B).
> Hallo. Kann mir vielleicht jemand mal eine Anstoß geben
> bei dieser Aufgabe, weil ich wirklich nicht verstehe, was
> genau ich hier machen muss...
Du sollst in i) und ii) die jeweilige Formel zeigen. Wo hast Du Probleme ?
FRED
>
> Grüße
> Emma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 23.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Also bei i) hab ich einfach Probleme dabei, vernünftig anzufangen. Das das so ist, wie es da steht, kann ich ja nachvollziehen, aber ich kann es irgendwie nicht zeigen.
Für ii) hab ich: [mm] A\cup B=A\cup(B\backslash [/mm] A) und [mm] B=(A\cap B)\cup(B\backslash [/mm] A)
[mm] \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B\backslash [/mm] A) und [mm] \mu(A\cap B)+\mu(B\backslash A)=\mu(B)
[/mm]
Addition liefert [mm] \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)+\mu(B\backslash A)=\mu(A)+\mu(B)+\mu(B\backslash [/mm] A)
und somit [mm] \mu(A \cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 24.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also bei i) hab ich einfach Probleme dabei, vernünftig
> anzufangen. Das das so ist, wie es da steht, kann ich ja
> nachvollziehen, aber ich kann es irgendwie nicht zeigen.
> Für ii) hab ich: [mm]A\cup B=A\cup(B\backslash[/mm] A) und
> [mm]B=(A\cap B)\cup(B\backslash[/mm] A)
> [mm]\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B\backslash[/mm] A) und [mm]\mu(A\cap B)+\mu(B\backslash A)=\mu(B)[/mm]
>
> Addition liefert [mm]\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)+\mu(B\backslash A)=\mu(A)+\mu(B)+\mu(B\backslash[/mm]
> A)
> und somit [mm]\mu(A \cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)[/mm]
ii) ist O.K.
Zu i) Wir haben $ [mm] A_{n} [/mm] $ paarweise disjunkt und $ [mm] \bigcup_{n} A_{n}=A [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] \mu(A)=\summe_{n}\mu(A_{n}) [/mm] $.
Fall 1: A ist unendlich. Dann ist [mm] \mu(A)=\infty.
[/mm]
Annahme: [mm] \summe_{n}\mu(A_{n})< \infty.
[/mm]
Dann gilt [mm] \mu(A_{n}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n
und
[mm] \mu(A_{n}) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] (warum ?)
Es gibt also ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \mu(A_{n})<1 [/mm] für n>m. Damit ist [mm] A_n [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] für n>m (warum ?)
Fazit: [mm] $A=A_1 \cup ...\cup A_m$.
[/mm]
Dann ist aber [mm] \mu(A) [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Widerspruch !
Fall 2: [mm] \mu(A) [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann ist A endlich, somit sind alle [mm] A_n [/mm] ebenfalls endlich.
Es kann nicht sein, dass gilt: [mm] A_n \ne \emptyset [/mm] für unendlich viele n (warum?)
Somit ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] A_n =\emptyset [/mm] für n>m.
Fazit: [mm] $A=A_1 \cup ...\cup A_m$.
[/mm]
Dann ist [mm] \mu(A)=\summe_{i=1}^{m}\mu(A_i) [/mm] (warum ?)
Also auch $ [mm] \mu(A)=\summe_{n}\mu(A_{n}) [/mm] $.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Do 25.06.2015 | | Autor: | Emma23 |
Klasse! Vielen Dank das leuchtet mir ein :)
LG Emma
|
|
|
|
