Masse auf Kugel - Lagrange < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Di 14.02.2012 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Ein Teilchen der Masse $m$ bewege sich im Schwerefeld der Erde auf einer Kugel vom Radius $R$.
Dabei zeige [mm] $\vec [/mm] g$ in z-Richtung
Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit die Masse den Punkt [mm] $\theta=0$ [/mm] oder [mm] $\theta=\pi$ [/mm] oder beide durchlaufen kann. |
Hallo liebes Forum,
ich schaffe es irgendwie nicht, die Frage befriedigend zu beantworten...
was ich bisher habe:
[mm] $\vec [/mm] x=r [mm] \begin{pmatrix} \left(\cos(\phi)\sin(\theta)\\ \sin(\phi)\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\right) \end{pmatrix}$
[/mm]
Die kinetische Energie ist:
[mm] $T=\bruch{m}{2}\left(r^2\dot\theta^2+r^2\dot\phi^2\sin^2(\theta)\right)$
[/mm]
Das Potential ist
[mm] $V=m\cdot g\cdot [/mm] r [mm] \cdot\cos(\theta)$
[/mm]
Die Lagrangegleichung also:
[mm] $L=\bruch{m}{2}\left(r^2\dot\theta^2+r^2\dot\phi^2\sin^2(\theta)-r\cdot\cos(\theta)\right)$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $mr^2\ddot\theta-mr^2\dot\phi^2\sin(\theta)\cos(\theta)-mgr\sin(\theta)=0$ [/mm]
und
[mm] $\bruch{d}{dt}\left(mr^2\dot\phi\sin^2(\theta)\right)=0$
[/mm]
[mm] $\phi" [/mm] ist also eine zyklische Koordinate.
Deshalb kann ich bei der Gleichung für theta ein eff. Potential einführen so dass:
[mm] $mr^2\ddot\theta=-\bruch{d}{d\theta}V_{eff}(\theta)$ [/mm]
ist, mit
[mm] $V_{eff}(\theta)=mgr\cos(\theta)-\bruch{m}{2}r^2\dot\phi^2\sin^2(\theta)$
[/mm]
Bis hierhin sollte eignetlich auch alles so weit stimmen.
Jetzt weiß ich aber nicht, wofür ich meine Bedinungen für eine Bahn durch [mm] $\theta=0$ [/mm] bzw [mm] $\tehta=\pi$ [/mm] erhalte.
Wenn ich den Winkel einfach einsetze sehe ich nirgendwo ein "Problem"
Kann mir jmd Helfen?
Vielen Dank!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deing Gl hab ich nicht nachgerechnet. wenn es eine Bahn mit [mm] \theta=0 [/mm] gibt und $ [mm] \bruch{d}{dt}\left(mr^2\dot\phi\sin^2(\theta)\right)=0 [/mm] $ folgt
[mm] \left(mr^2\dot\phi\sin^2(\theta)\right)=0 [/mm] also für alle anderen Winkel [mm] \phi'=0. [/mm] und damit [mm] \theta''=gr [/mm] bei theta=0 also fällt die masse von der Kugel. sie kann nicht auf der Kugel bei [mm] \theta=0 [/mm] sein ohne runterzufallen, wenn es keine zusätzliche Zwangskraft gibt, die sie auf der Kugel hält.
auch deine Vorstellung sollte sagen, dass du nur mit der einzigen Kraft min z Richtung nichts um die Kugel rumlaufen kann!
Gruss leduart
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