Masse, nicht konstante Dichte < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Dichte eines Kreiszylinders (Radius R, Höhe h) nehme gemäß [mm]roh=roh_0*(1+\left( \bruch{r}{R} \right)^2)[/mm] mit dem Abstand r von der Figurenachse ab.
Gesucht ist die Masse des Zylinders
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Der Ansatz um die Masse zu bestimmen ist
[mm]m=\int_{V}^{} roh\, dV[/mm],
lieg ich da richtig?
Denn wenn ich das Ausschreibe als [mm]m=roh*\int_{0}^{R}\int_{0}^{h}\int_{0}^{2*\pi}(1+\left( \bruch{r}{R} \right)^2) \, dR\,dh\,d\phi[/mm]
dann komm ich selbst beim besten Willen nicht auf eine richtige Lösung (meine Lösungen haben immer die Einheit [mm]\bruch{kg}{m}[/mm].)
Ich wäre sehr dankbar für eine ausfürliche Erklärung der nötigen "Rechenschritte", besonders wenn nach [mm]d\phi[/mm] integriert wird.
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So komplizierte Integrale sind gar nicht nötig. Ein Integral ist die (unendliche) Summe (unendlich) kleiner Summanden, die wiederum Produkte sind.
Zerlege den Zylinder in lauter gleichhohe Röhren mit dem Radius r, der Höhe h, der Dichte [mm] \rho [/mm] und der Dicke dr. Dann hat eine solche Röhre die Masse
dm = [mm] \rho [/mm] dV = [mm] \rho_0(1+(\bruch{r}{R})^2)*2\pi*h*dr.
[/mm]
Jetzt nur einmal über r von r=0 bis r=R integriert, und du bist fertig.
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[mm] $\int_{0}^{R} \rho_0(1+(\bruch{r}{R})^2)\cdot{}2\pi\cdot{}h\cdot{}r\,dr.= \rho_0*2\pi*h*\int_{0}^{R} [/mm] r+ [mm] \bruch{r^3}{R^2}\,dr=\rho_0*2\pi*h*\bruch{3R^2}{4}$
[/mm]
stimmt das dann so? Die Einheit wäre auf jeden Fall richtig ;)
Danke für die schnelle Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo HerrMoritz,
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !!
Bei der Integration von [mm] $\left(\bruch{r}{R}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r^2}{R^2}$ [/mm] hast Du den Faktor [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] vergessen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mo 21.01.2008 | | Autor: | HerrMoritz |
Aber ich Integrier doch gar kein [mm]r^2[/mm]?!
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> [mm]\int_{0}^{R} \rho_0(1+(\bruch{r}{R})^2)\cdot{}2\pi\cdot{}h\cdot{}r\,dr.= \rho_0*2\pi*h*\int_{0}^{R} (r+ \bruch{r^3}{R^2})\,dr=\rho_0*2\pi*h*(r^2/2+\bruch{r^4}{4R^2})[/mm]in den Grenzen von 0 bis R = [mm] \rho_0*2\pi*h*(R^2/2+\bruch{R^2}{4})=\bruch{3}{2}*\rho_0*\pi*h*R^2
[/mm]
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