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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Materialverflechtung
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Materialverflechtung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Di 12.05.2020
Autor: steve.joke

Aufgabe
Barcelona produziert Eis in einem 2-stufigen P.prozess. Aus den Rohstoffen Zucker R1, Milch R2, Fett R3, Schoko R4 und Sahne R5 werden zuerst Eismasse Z1, Glasur Z2 und Schokosplitter Z3 hergestellt. Aus diesen wiederum enstehen die Endprodukte: Eis 1 E1, Eis 2 E2 und Eis 3 E3.
Folgende Informationen in ME sind gegeben.

[mm] B_ZE=\pmat{ 2 & 1 & 1,5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 0 & 0,9 & 0,5 } [/mm]

[mm] C_RE=\pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600} [/mm]

Die momentane Situation erzwingt Lieferschwierigkeiten, sodass nur noch 2275000 ME Schoko R4 und 2080000 ME Sahne zur Verfügung stehen. Ein Großhändler möchte so viel wie möglich ordern, allerdings sollen 50% mehr von E2 als E3 geliefert werden.

Ermittle je Sorte die Anzahl, die produziert werden kann.

Hallo,

zu der oben genannten Aufgabe liegen mir die Lösungen vor, jedoch verstehe ich diese nicht ganz.

Da steht.

200 [mm] \cdot [/mm] a + 1,5 [mm] \cdot [/mm] 970 [mm] \cdot [/mm] b + 600 [mm] \cdot [/mm] b = 2275000

800 [mm] \cdot [/mm] a + 1,5 [mm] \cdot [/mm] 400 [mm] \cdot [/mm] b + 600 [mm] \cdot [/mm] b = 2080000

Es folgt: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{1100 \\ 1500 \\ 1000} [/mm]

Also können 17600 E1, 240000 E2 und 16000 E3 hergestellt werden.

Meine erste Frage:

Wie kommen die ersten beiden Zeilen des LGS zustande. Das verstehe ich irgendwie nicht.

200 [mm] \cdot [/mm] a + 1,5 [mm] \cdot [/mm] 970 [mm] \cdot [/mm] b + 600 [mm] \cdot [/mm] b = 2275000

800 [mm] \cdot [/mm] a + 1,5 [mm] \cdot [/mm] 400 [mm] \cdot [/mm] b + 600 [mm] \cdot [/mm] b = 2080000

Nehme ich z.B. die Matrix C mit einem Vektor mal, z.B.

[mm] \pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600} \cdot \vektor{100 \\ 200 \\ 300} [/mm]

steht 100 für E1, 200 für E2 und 300 für E3.

In der Lösung wurde aber gerechnet:

[mm] \pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600} \cdot \vektor{a \\ 1,5b \\ b} [/mm]

Dieser Schritt ist mir gerade nicht einleuchtend...

Genauso verstehe ich nicht, wie die auf die Endergebnisse kommen 17600 E1, 240000 E2 und 16000 E3 hergestellt werden. Wo kommen diese Zahlen auf einmal her??

Über Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar...



        
Bezug
Materialverflechtung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Mi 13.05.2020
Autor: statler

Hallo!

> Barcelona produziert Eis in einem 2-stufigen P.prozess. Aus
> den Rohstoffen Zucker R1, Milch R2, Fett R3, Schoko R4 und
> Sahne R5 werden zuerst Eismasse Z1, Glasur Z2 und
> Schokosplitter Z3 hergestellt. Aus diesen wiederum enstehen
> die Endprodukte: Eis 1 E1, Eis 2 E2 und Eis 3 E3.
> Folgende Informationen in ME sind gegeben.
>  
> [mm]B_ZE=\pmat{ 2 & 1 & 1,5 \\ 4 & 5 & 4 \\ 0 & 0,9 & 0,5 }[/mm]
>  
> [mm]C_RE=\pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600}[/mm]
>  
> Die momentane Situation erzwingt Lieferschwierigkeiten,
> sodass nur noch 2275000 ME Schoko R4 und 2080000 ME Sahne
> zur Verfügung stehen. Ein Großhändler möchte so viel
> wie möglich ordern, allerdings sollen 50% mehr von E2 als
> E3 geliefert werden.
>  
> Ermittle je Sorte die Anzahl, die produziert werden kann.
>  Hallo,
>  
> zu der oben genannten Aufgabe liegen mir die Lösungen vor,
> jedoch verstehe ich diese nicht ganz.
>  
> Da steht.
>  
> 200 [mm]\cdot[/mm] a + 1,5 [mm]\cdot[/mm] 970 [mm]\cdot[/mm] b + 600 [mm]\cdot[/mm] b =
> 2275000
>  
> 800 [mm]\cdot[/mm] a + 1,5 [mm]\cdot[/mm] 400 [mm]\cdot[/mm] b + 600 [mm]\cdot[/mm] b =
> 2080000
>  
> Es folgt: [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{1100 \\ 1500 \\ 1000}[/mm]
>  
> Also können 17600 E1, 240000 E2 und 16000 E3 hergestellt
> werden.
>  
> Meine erste Frage:
>  
> Wie kommen die ersten beiden Zeilen des LGS zustande. Das
> verstehe ich irgendwie nicht.
>  
> 200 [mm]\cdot[/mm] a + 1,5 [mm]\cdot[/mm] 970 [mm]\cdot[/mm] b + 600 [mm]\cdot[/mm] b =
> 2275000
>  
> 800 [mm]\cdot[/mm] a + 1,5 [mm]\cdot[/mm] 400 [mm]\cdot[/mm] b + 600 [mm]\cdot[/mm] b =
> 2080000
>  
> Nehme ich z.B. die Matrix C mit einem Vektor mal, z.B.
>  
> [mm]\pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600} \cdot \vektor{100 \\ 200 \\ 300}[/mm]
>  
> steht 100 für E1, 200 für E2 und 300 für E3.
>  
> In der Lösung wurde aber gerechnet:
>  
> [mm]\pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600} \cdot \vektor{a \\ 1,5b \\ b}[/mm]
>  
> Dieser Schritt ist mir gerade nicht einleuchtend...

So wie hier gerechnet wird muß die Matrix

[mm]C_RE=\pmat{ 160 & 110 & 130 \\ 620 & 310 & 465 \\ 140 & 130 & 125 \\ 200 & 970 & 600 \\ 800 & 400 & 600}[/mm]

den Zusammenhang zwischen den Endprodukten und den Rohstoffen beschreiben, also Matrix mal Endproduktvektor ergibt Rohstoffbedarfsvektor.

Die Rohstoffe R4 und R5 sind vorgegeben, die Endprodukte gesucht. Außerdem weiß ich 1,5 [mm] $\cdot$ [/mm] E3 = E2, wobei in der Rechnung E1 = a und E3 = b ist.
Deswegen kriege ich nur 2 lineare Gleichungen aus der 4. und 5. Zeile der Matrix.

>  
> Genauso verstehe ich nicht, wie die auf die Endergebnisse
> kommen 17600 E1, 240000 E2 und 16000 E3 hergestellt werden.
> Wo kommen diese Zahlen auf einmal her??

Das verstehe ich auch noch nicht. Normalerweise wäre ja auch die 5x3-Matrix für den Übergang von Rohstoffen auf Zwischenprodukte und die 3x3-Matrix für den Übergang von Zwischenprodukten auf Endprodukte zuständig. Dann müßte ich meinen Ansatz mit der Produktmatrix machen, und das ergibt bei mir auf die Schnelle Murks.

>  
> Über Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar...

Eine echte Hilfe ist das ja noch nicht :(, aber man merkt, wie wichtig bei einer Lösung der begründende Text ist. So muß sich der Leser das selbst zusammenprobieren, was unbefriedigend ist.

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Materialverflechtung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Mi 13.05.2020
Autor: HJKweseleit

Ergänzung zu Statler:

Du solltest dir merken, dass solche Matrizen durch Multiplikation den Produktionsprozess immer zeitlich rückwärts berechnen. Mit den Rohstoffen von 500 Brettern und 1000 Schrauben kannst du alles mögliche basteln, daraus lässt sich nichts errechnen; wenn du aber 20 Regale mit je 3 Brettern und 12 Schrauben herstellen willst, kannst du rückwärts (damit meine ich zeitlich den Produktionsablauf Rohstoffe [mm] \mapsto [/mm] Zwischenprodukte [mm] \mapsto [/mm] Endprodukte) den Bedarf an Zwischen- und/oder Rohstoffen berechnen.

Wenn ich eure Terminologie richtig verstehe, wird somit mit [mm] C_{R}E [/mm] aus den Endprodukten der Bedarf an Rohstoffen berechnet. Statler hat dir erläutert, woher die beiden Gleichungen kommen, mit denen du a und b berechnen kannst.

Der Vektor [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{1100 \\ 1500 \\ 1000}[/mm] gibt dir somit die Mengen E1, E2 und E3 an.

[mm] B_{Z}E [/mm] wird für diese Aufgabenteile ncht gebraucht. Durch Multiplikation mit [mm]\overrightarrow{x}[/mm] könntest du die erforderlichen Mengen der Zwischenprodukte errechnen.

Die Aussage

>  
> Also können 17600 E1, 240000 E2 und 16000 E3 hergestellt
> werden.

ist Unfug.

Es muss heißen: Also können 1100 E1, 1500 E2 und 1000 E3 hergestellt werden.

Wenn du diese Zahlen mal mit 16 multiplizierst, bekommst du die obige falsche Aussage. Dein Lehrer hat also einfach nur eine Aufgabe kopiert und die Zahlen der Endprodukte durch 16 geteilt, bei der Musterlösung das aber zum Schluss vergessen. Bei 240000 hat er auch noch eine 0 zu viel hingeschrieben...


Bezug
                
Bezug
Materialverflechtung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 So 17.05.2020
Autor: steve.joke

Danke für die Anmerkungen!

Bezug
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