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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Do 14.10.2004 | | Autor: | Joergi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich habe ein Riesenproblem. Ich hatte heute meine erste Vorlesung Numerische Analysis I gehabt und muss jetzt ein Übungsblatt abgeben. Zum einen wieß ich nicht wie ich das Blatt lösen soll und das andere Problem ist, dass ich einige Aufgabenteile mit Maple oder Matlab lösen soll und ich aber noch nie damit gearbeitet habe.
Also die Aufgabe lautet:
Als Beispiel für ein mathematisches Modell betrachten wir das folgende Problem: Zu gegebenem [mm]f \in C [0,1] [/mm] und [mm]u_l, u_r \in \IR[/mm],finde [mm]u \in C^{2}[0,1][/mm], so dass [mm]-u^{''} (x)+u(x)=f(x)[/mm] für alle [mm]x\in[0,1][/mm] und [mm]u(0)=u_l, u(1)=u_r. [/mm](*)
Wir werden es in (b) durch ein Näherungsproblem approximieren, welches ein lineares Gleichungssystem ist.
(a) Zeige, dass für [mm]u \in C^4[0,1][/mm] und mit[mm] \bar x -h, \bar x, \bar x+h \in[0,1] [/mm]die folgende Approximation für den Ausdruck aus (*) gilt:
[mm]\begin{vmatrix}-u^{''}(\bar x)+u(\bar x) - \begin{pmatrix}-\bruch{u(\bar x +h) - 2u(\bar x) + u(\bar x - h)}{h^2}+u(\bar x)\end{pmatrix}\end{vmatrix}\le \bruch{h^2}{12}max_{x\in[0,1]}\left|u^{''''}(x)\right| [/mm]
(b)Wir wählen ein [mm]n \in \IN[/mm] und setzen die Näherung aus (a) in (*) für [mm] x=\bar x=ih[/mm] ein, für jedes [mm] i \in\left \{1,...,n\right \}[/mm], wobei [mm]h = 1/(n+1)[/mm]. Wir bekommen [mm]n[/mm] Gleichungen für [mm] u(h), u(2h),..., u(nh)[/mm], wenn wir die Randwerte [mm]u_l, u_r[/mm] verwenden. Wir ersetzen in den Gleichungen [mm]u(ih)[/mm] durch [mm]u_i, i=1,...,n[/mm]. Stelle das lineare Gleichungssystem [mm]A_hU_h=F_h [/mm] für den Unbekanntenvektor [mm]U_h=(u_1,...,u_n)^{T} \in \IR^{n}[/mm] auf. Die Komponenten [mm]u_i[/mm] stellen offenbar eine Näherung für [mm]u(ih)[/mm] dar, wobei die Funktion [mm]u(x)[/mm] die Lösung von (*) ist.
(c) Wir machen zwei Tests, um zu sehen, ob wir mittels (b) wirklich die Lösung von (*) annähern können. TEST 1: [mm] u(x)=sin(x\pi)[/mm], TEST 2: [mm] u(x)=-2(x-0,5)+tanh(20(x-0,5))[/mm]. Man bestimme jeweils [mm] f, u_l, u_r[/mm]so, dass [mm]u(x)[/mm] die Lösung von (*) ist. Man wähle dann ein [mm]n[/mm] und bestimme gemäss (b) die Näherungslösung und vergleiche diese in einem Plot mit [mm]u(x)[/mm]. Verwende dazu MATLAB oder MAPLE.
(d) Wieso kann mansagen, dass man das Problem [mm]A_hU_h=F_h[/mm] i.a. nicht exakt in den Computer übertragen kann. Wo genau treten "Übertragungsfehler" auf? Mit welchen Fehlern ist die in (c) von MATLAB/MAPLE gelieferte Näherungslösung noch behaftet?
(e) Es sei [mm]A_hU_h=F_h[/mm] aus (b) exakt gelöst für beliebige [mm]n, h\equiv h(n) \equiv 1/(n+1)[/mm] und [mm]u(x)[/mm] die Lösung von (*). Wir wollen, dass [mm]U_{1/(n+1)} [/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]gegen die Funktion [mm]u[/mm] in einem passenden Sinne konvergiert. Mache einen Vorschlag, in welchem Sinne man hier Konvergenz fordern könnte. [Die Konvergenz wird erst in Numerische Analysis IV beweisen.]
Also zu (a) :
Der erste Teil der Approximation ist mir klar und auch [mm]u(\bar x +h)[/mm] und [mm] u(\bar x -h)[/mm]. Aber der Rest ist mir einfach nicht klar!
Und wie gesagt mit Maple kann ich gar nicht umgehen. Wenn mir da jemand nen heißen Tipp geben könnte, wäre ich auch schon ein Stück weiter.
Danke schon mal im Voraus auch wenn ich noch nicht wirklich viel zur Lösung beitragen konnte.
Jörg
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Hallo Joergi,
zu a)
Setze für u(x+h) und für u(x-h) die Taylorentwicklungen ein.
zu b)
fang ich mal an
[mm]1*u(0)= u_l[/mm]
[mm] -\bruch{1}{h^2}*u(0)+\bruch{2}{h^2}*u(h)-\bruch{1}{h^2}*u(2h)+u(h) = f(h)[/mm]
[mm] -\bruch{1}{h^2}*u(h)+\bruch{2}{h^2}*u(2h)-\bruch{1}{h^2}*u(3h) +u(2h)= f(2h)[/mm]
usw. usf.
als letzte Zeile kommt der rechte Rand
Dies ergibt ein tridiagonales GS die u(0) ,u(h) u(2h) usw. sind die Unbekannten.
zu c)
Aus b) erhälst du dein GS das Du eben in Matlab übertragen müsstest also nxn Matrix A unbekannten vektor u und rechte Seite f.
(Au=f löst man in Matlab wenn ich nicht irre u=A/f)
zu d)
bei der Übertragung gibts nen Rundungsfehler.
Das Lösen des Gleichungssystems ist zwar relativ unproblematisch da's eine diagonaldominate Matrix ist aber einen Fehler gibt's nat. auch und nicht zuletzt bleibt das Ergebnis aus a) als Fehler zu nennen.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:00 So 17.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Weiss jemand, wie man die entsprechenden Aufgaben mit Maple löst?
Gibt es vielleicht ein gutes Maple-Buch?
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Wurzelpi!
Ich fürchte es kennt sich hier keiner hinreichend gut mit Maple aus, tut mir leid. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Joergi |
Danke für deine schnelle Antwort!
Leider hatte ich übers Wochenende kein Internet.
Werde mich dann mal an die Aufgabe machen!!
Gruß Jörg
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