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| Aufgabe | Betrachten Sie das mathematische Pendel
[mm] u''+k^2*sin(u) [/mm] = 0
1) Schreiben Sie die Dgl um in ein System erster Ordnung und zeigen Sie, dass dieses System für jeden Startwert eine eindeutige Lösung besitzt.
2) Finden Sie stationäre Punkte (konstante Lösungen) des Systems und interpretieren Sie sie.
3) Berechnen Sie die Funktion F(x,y) (Stammfunktion).
4) Interpretieren Sie das Ergebnis |
Hallo,
ich versuche die Aufgabe zu lösen und bin bis jetzt nur auf einen Ansatz gekommen:
1) definiere v := u'
=> v' = -k^2sin(u)
[mm] \vektor{u' \\ v'} [/mm] = [mm] \vektor{v \\ -k^2sin(u)}
[/mm]
Ist das das gesuchte System erster Ordnung?
Um zu zeigen, dass zu jedem Startwert eine eindeutige Lösung existiert, reicht es dann zu zeigen, dass jede Komponente von [mm] \vektor{v \\ -k^2sin(u)} [/mm] Lipschitz-stetig ist?
zu 2) und 3) habe ich leider garkeine Ahnung. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mo 13.12.2010 | | Autor: | pelzig |
> 1) definiere v := u'
>
> => v' = -k^2sin(u)
>
>
> [mm]\vektor{u' \\
v'}[/mm] = [mm]\vektor{v \\
-k^2sin(u)}[/mm]
>
> Ist das das gesuchte System erster Ordnung?
Im wesentlichen schon. Um es noch deutlicher zu schreiben, wenn wir definieren [mm]c(t)=(u(t),u'(t))[/mm], dann lässt sich die DGL schreiben als [mm]\dot{c}(t)=f(c(t))[/mm] mit der Funktion [mm]f(x,y)=(y,-k^2\sin(x))[/mm] mit einer gewissen Anfangswertbedingung [mm]c(0)=c_0[/mm]
> Um zu zeigen, dass zu jedem Startwert eine eindeutige
> Lösung existiert, reicht es dann zu zeigen, dass jede
> Komponente von [mm]\vektor{v \\
-k^2sin(u)}[/mm] Lipschitz-stetig
> ist?
Das ist richtig, aber eigentlich reicht sogar lokal lipschitzstetig, und dafür gibt es eine sehr einfache hinreichende Bedingung: Sind die Komponenten von [mm]f[/mm] stetig differenzierbar, dann sind sie auch lokal lipschitzstetig.
> zu 2) und 3) habe ich leider garkeine Ahnung. Kann mir da
> jemand einen Tipp geben?
Ist [mm]c[/mm] eine stationäre Lösung, so ist [mm]c(t)=c_0[/mm] für alle [mm]t[/mm] und es muss gelten [mm]0=\dot{c}(t)=f(c(t))=f(c_0)[/mm], d.h. du musst die Nullstellen von [mm]f[/mm] bestimmen, was eigentlich kein Problem darstellen sollte. Dann denk auch mal kurz darüber nach, was das physikalisch bedeutet, wenn [mm]u(t)[/mm] einfach den Winkel der Auslenkung des Pendels zum Zeitpunkt [mm]t[/mm] beschreibt.
Bei Aufgabe 3) weiß ich ehrlichgesagt gar nicht, was da gemeint ist.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Bei Aufgabe 3) weiß ich ehrlichgesagt gar nicht, was da
> gemeint ist.
Wahrscheinlich ein ![[]](/images/popup.gif) Erstes Integral. LG, Alex
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Danke für deine Antwort! Das hat mir schon sehr weitergeholfen.
> Das ist richtig, aber eigentlich reicht sogar lokal
> lipschitzstetig, und dafür gibt es eine sehr einfache
> hinreichende Bedingung: Sind die Komponenten von [mm]f[/mm] stetig
> differenzierbar, dann sind sie auch lokal lipschitzstetig.
Ist es so richtig?
[mm]f'(x,y) = ( 1 , -k^2*cos(x) )[/mm]
beide Komponenten sind stetig, also ist f lok. Lipschitz-stetig.
> Ist [mm]c[/mm] eine stationäre Lösung, so ist [mm]c(t)=c_0[/mm] für alle
> [mm]t[/mm] und es muss gelten [mm]0=\dot{c}(t)=f(c(t))=f(c_0)[/mm], d.h. du
> musst die Nullstellen von [mm]f[/mm] bestimmen, was eigentlich kein
> Problem darstellen sollte.
die Nullstellen von f habe ich so versucht zu bestimmen:
[mm]f(x,y) = 0 =[/mm] [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{y \\ -k^2sin(x)} \Rightarrow[/mm] [mm]y = 0 \wedge x = q\pi (q \in \IZ)[/mm]
> Dann denk auch mal kurz darüber
> nach, was das physikalisch bedeutet, wenn [mm]u(t)[/mm] einfach den
> Winkel der Auslenkung des Pendels zum Zeitpunkt [mm]t[/mm]
> beschreibt.
>
Wenn meine Rechnung vorhin richtig war, gilt an den stat. Punkten [mm]u(t) = q\pi[/mm] und [mm]u'(t) = 0[/mm]. D.h. der Winkel der Auslenkung das Pendels zum Zeitpunkt t wäre ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] ?
Kann mir darunter nur schwer etwas vorstellen, aber kann es sein, dass es genau die Startwerte sind, an denen das Pendel einfach nur senkrecht nach unten hängt?
> Bei Aufgabe 3) weiß ich ehrlichgesagt gar nicht, was da
> gemeint ist.
>
> Gruß, Robert
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
stetig und lipschitzstetig ist nicht dasselbe, deine fkt ist aber differenzierbar: lies posts genauer, das stand da schon!
und fast ja zu den stationären Pkt. allerdings nur unten hängend für q=0,2,4
was ist der andere stat. Pkt?
Gruss leduart
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Hallo
> stetig und lipschitzstetig ist nicht dasselbe, deine fkt
> ist aber differenzierbar: lies posts genauer, das stand da
> schon!
Ok, die Funktion f ist differenzierbar, sogar stetig differenzierbar. Daraus würde ja dann die lok. Lipschitz-Stetigkeit folgen, oder? Und damit eine eind. Lösung für jeden Startwert?
> und fast ja zu den stationären Pkt. allerdings nur unten
> hängend für q=0,2,4
> was ist der andere stat. Pkt?
Der andere stationäre Punkt wäre dann der Startpunkt, an dem das Pendel senkrecht nach oben zeigt. Das Pendel würde dann in dieser Position stehen bleiben, wenn die Kugel nicht an einem Faden sondern an einem Metallstab o.Ä. befestigt wäre.
Soll ich bei Aufgabe 3) [mm]f(x,y)[/mm] als implizite Gleichung darstellen? Aber wie mache ich das?
Wäre nett wenn ihr mir da noch einen Tipp geben könntet.
Gruß, Gratwanderer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Peon |
Sitze auch an der Aufgabe und poste mal mein Ergebnis, da ich nicht sicher bin ob es stimmt, ist es als Frage formuliert, bitte also um Bestätigung oder Korrektur:
Du kannst das System in eine DGL der Form bringen, wie wir sie schon in Aufgabe 33 hatten:
[mm] -k^2*sin(y_1)dy_1-y_2dy_2=0 [/mm] hier ist nun auf Exaktheit zu prüfen und dann nach bekanntem Schema zu lösen.
Ich komme dann auf:
[mm] F(y_1,y_2)=-k^2*cos(y_1)+\bruch{1}{2}*y_2^2=c.
[/mm]
Kann das jemand bestätigen?
DANKE
EDIT:
Dazu sollen noch die Niveaulinien gezeichnet werden, kann mir einer sagen, wie die aussehen sollen und wie man diese interpretieren kann? (An diejenigen, die ebenfalls die Aufgabe bearbeiten, handelt es sich um die Kurven aus der VL, die wir dazu gezeichnet haben?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kanns bestätigen .
Niveaulinien sind einfach die Linien für verschiedene c in der y1-y2 Ebene. also die "Höhenlinien! des Gebirges [mm] y_3=F(y1,y2)
[/mm]
Gruss leduart
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