Matridarstellung,Kern/Bild Abb < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Do 20.01.2011 | | Autor: | Voij |
| Aufgabe | Sei
D : [mm] \IC_{\le3}[/mm] [t] [mm] \to \IC_{\le3}[/mm] [t] ; [mm] p=\summe_{j=0}^{3} p_{j} t^{j} \mapsto 3p_{3}t^{2}+2p_{2}t+p_{1}
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass D linear ist.
(ii) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von D bezüglich der Basis [mm] B1:=(1,t,t^{2}, t^{3})
[/mm]
von [mm] \IC_{\le3}[/mm] [t].
(iii) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von [mm] [D]_{B1}^{B1}.
[/mm]
(iv) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von D. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöle,
also, mein Problem befindet sich momentan hauptsächlich bei Aufgabenteil (iv).
Linearität war einfach, D(p+q)=D(p)+D(q), [mm] D(\lambda p)=\lambda [/mm] D(p).
Matrixdarstellung sollte, wenn ich mich nicht irre, über:
[mm] D(1)=0*3t^{3}+0*2t+0
[/mm]
[mm] D(t)=0*3t^{3}+0*2t+1
[/mm]
[mm] D(t^{2})=0*3t^{3}+1*2t+0
[/mm]
[mm] D(t^{3})=1*3t^{3}+0*2t+0
[/mm]
funktionieren, was dann
[mm] [D]_{B1}^{B1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm] ergibt.
Kern und Bild lassen sich ebenso recht simpel berechnen, mit [mm] Kern=\{ d*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, d\in\IC \} [/mm] und [mm] Bild=\{ a*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, c*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, a,b,c\in\IC \}
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, was ich bei (iv) machen soll.
Würde mich über Tipps/Hinweise/Herangehensweisen freuen. >.<
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Hallo Voij und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei
> D : [mm]\IC_{\le3}[/mm] [t][mm]\to \IC_{\le3}[/mm] [t]; [mm]p=\summe_{j=0}^{3} p_{j} t^{j} \mapsto 3p_{3}t^{2}+2p_{2}t+p_{1}[/mm]
> (i) Zeigen Sie, dass D linear ist.
> (ii) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von D bezüglich der Basis [mm]B1:=(1,t,t^{2}, t^{3})[/mm]
> von [mm]\IC_{\le3}[/mm] [t].
> (iii) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von [mm][D]_{B1}^{B1}.[/mm]
> (iv) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von D.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallöle,
> also, mein Problem befindet sich momentan hauptsächlich bei Aufgabenteil (iv).
> Linearität war einfach, D(p+q)=D(p)+D(q), [mm]D(\lambda p)=\lambda[/mm] D(p).
> Matrixdarstellung sollte, wenn ich mich nicht irre, über:
> [mm]D(1)=0*3t^{3}+0*2t+0[/mm]
[mm]+0\cdot{}t^2[/mm]
> [mm]D(t)=0*3t^{3}+0*2t+1[/mm]
[mm]+0\cdot{}t^2[/mm]
> [mm]D(t^{2})=0*3t^{3}+1*2t+0[/mm]
[mm]+0\cdot{}t^2[/mm]
> [mm]D(t^{3})=1*3t^{3}+0*2t+0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]D(t^3)=D(0\cdot{}1+0\cdot{}t+0\cdot{}t^2+1\cdot{}t^3})=3\cdot{}1\cdot{}t^2+2\cdot{}0\cdot{}t+0=\red{0}\cdot{}1+\red{0}\cdot{}t+\red{3}\cdot{}t^2\red{0}\cdot{}t^3[/mm]
> funktionieren, was dann
> [mm][D]_{B1}^{B1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 }[/mm] ergibt.
Nein, das ergibt doch eine [mm]4\times 4[/mm]-Matrix.
[mm]\IC_{\le 3}[t][/mm] ist 4-dimensional (schaue auf die gegebene Standardbasis - die enthält doch 4 Vektoren!)
In den Spalten der Darstellungsmatrix (ich nenne sie [mm]M[/mm]) stehen die Koeffizientenvektoren oben (ich hab's für die LK des Bildes des 4ten Basisvektors mal rot gemacht - vgl. die LK oben. Die Koeffizienten (in geordneter Reihenfolge - wie die Basis) treten hier in der Matrix als Spalte auf, von oben nach unten gelesen die Koeffizienten von [mm]t^0[/mm] bis [mm]t^3[/mm]):
[mm]M=\pmat{0&1&0&\red{0}\\
0&0&2&\red{0}\\
0&0&0&\red{3}\\
0&0&0&\red{0}}[/mm]
Weißt du, was D tut?
>
> Kern und Bild lassen sich ebenso recht simpel berechnen, mit [mm]Kern=\{ d*\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}, d\in\IC \}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie du das aber aus der Matrix berechnet hast, ist mir schleierhaft ...
> und [mm]Bild=\{ a*\vektor{1 \\
0 \\
0}, b*\vektor{0 \\
1 \\
0}, c*\vektor{0 \\
0 \\
1}, a,b,c\in\IC \}[/mm]
>
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, was ich bei (iv) machen soll.
> Würde mich über Tipps/Hinweise/Herangehensweisen freuen. >.<
Das Bild ist ein Unterraum von [mm]\IC_{\le 3}[t][/mm]
Ein Vektor aus dem Bild hat also auch 4 Koordinaten!
Kennst du den Dimensionssatz?
Es ist [mm]\operatorname{dim}(\IC_{\le 3}[t])=4=\operatorname{dim}(Kern(D))+\operatorname{dim}(Bild(D))[/mm]
[mm]Kern(D)[/mm] hat wie du richtig errechnet hast Dimension 1
Bleibt: [mm]Bild(D)[/mm] hat Dimension 3
Die Spaltenvektoren von [mm]M[/mm] spannen das Bild auf.
Suche dir also 3 (wegen dim(Bild)=3) unabh. Spaltenvektoren aus M heraus.
Die siehst du ja offensichtlich ...
Ist es nun klar(er) geworden?
![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 20.01.2011 | | Autor: | Voij |
Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Beim erneuten Drüberlesen ist mir gleich nochmal aufgefallen, dass meine D(t) etc. alle ein [mm] t^{3} [/mm] enthielten, obwohl das [mm] t^{2} [/mm] hätte sein sollen. >.<
Davon ab noch danke für die Aufklärung, ich war schon leicht verwirrt, weil wir bisher noch keine Matrixdarstellungen mit Polynomen berechnen sollten und hier ausgerechnet [mm] p_{0} [/mm] kein Gegenstück in der Abbildung besitzt.
Daher kam dann der Gedanke mit der 3x4 Matrix.
Bezüglich deiner Frage mit dem Kern, dafür habe ich die 3x4 Matrix in Zeilenstufenform gebracht und dann die homogene Lösung betrachtet.
(A*x=0, mit x=Kern)
Damit bleibt für den Kern nur die erste Zeile frei wählbar, alle anderen müssen gezwungenermaßen 0 sein. Dadurch folgt dann oben angegebene Lösung.
Frage: Was ich leider immernoch nicht erkennen kann ist der Unterschied zwischen Kern und Bild von D und Kern und Bild von [mm] [D]_{B1}^{B1}.
[/mm]
Ich werde mich wenn ich Zuhause bin nochmal ransetzen und mich dann erneut melden.
Danke nochmal für die Hilfe bisher und ich hoffe, ihr habt noch ein klein wenig Geduld mit mir.
Edit:
Okay, habe mich jetzt rangesetzt und komme leider immernoch nicht weiter.
Ich kann leider keinen Unterschied zwischen der Matrix [mm] [D]_{B1}^{B1} [/mm] und der Matrix für D finden und weiß jetzt nicht wo da ein Unterschied zwischen Kern und Bild der beiden sein soll, wenn es denn einen gibt. (Also zwischen Kern und Kern bzw. Bild und Bild.)
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für die schnelle Antwort.
>
> Beim erneuten Drüberlesen ist mir gleich nochmal
> aufgefallen, dass meine D(t) etc. alle ein [mm]t^{3}[/mm]
> enthielten, obwohl das [mm]t^{2}[/mm] hätte sein sollen. >.<
>
> Davon ab noch danke für die Aufklärung, ich war schon
> leicht verwirrt, weil wir bisher noch keine
> Matrixdarstellungen mit Polynomen berechnen sollten und
> hier ausgerechnet [mm]p_{0}[/mm] kein Gegenstück in der Abbildung
> besitzt.
> Daher kam dann der Gedanke mit der 3x4 Matrix.
>
> Bezüglich deiner Frage mit dem Kern, dafür habe ich die
> 3x4 Matrix in Zeilenstufenform gebracht und dann die
> homogene Lösung betrachtet.
> (A*x=0, mit x=Kern)
> Damit bleibt für den Kern nur die erste Zeile frei
> wählbar, alle anderen müssen gezwungenermaßen 0 sein.
> Dadurch folgt dann oben angegebene Lösung.
>
>
> Frage: Was ich leider immernoch nicht erkennen kann ist der
> Unterschied zwischen Kern und Bild von D und Kern und Bild
> von [mm][D]_{B1}^{B1}.[/mm]
Nun, [mm]D[/mm] bezeichnet die Abbildung und [mm][D]_{B_1}^{B_1}[/mm] bezeichnet die Darstellungsmatrix von [mm]D[/mm] bzgl. der Basis [mm]B_1[/mm]
Also gilt [mm]D:\IC_{\le 3}[t]\to\IC_{\le 3}[t], p(t)\mapsto D(p(t))=[D]_{B_1}^{B_1}\cdot{}p(t)[/mm]
Kern und Bild der linearen Abbildung [mm]D[/mm] kannst du bestimmen, indem du Kern und Bild der Darstellungsmatrix [mm][D]_{B_1}^{B_1}[/mm] bestimmst.
Den [mm]Kern([D]_{B_1}^{B_1})=Kern(D)[/mm] haben wir ja schon, bleibt noch die Kleinigkeit mit dem Bild.
Aber das steht ja in der anderen Antwort ...
>
> Ich werde mich wenn ich Zuhause bin nochmal ransetzen und
> mich dann erneut melden.
>
> Danke nochmal für die Hilfe bisher und ich hoffe, ihr habt
> noch ein klein wenig Geduld mit mir.
>
> Edit:
> Okay, habe mich jetzt rangesetzt und komme leider
> immernoch nicht weiter.
> Ich kann leider keinen Unterschied zwischen der Matrix
> [mm][D]_{B1}^{B1}[/mm] und der Matrix für D finden und weiß jetzt
> nicht wo da ein Unterschied zwischen Kern und Bild der
> beiden sein soll, wenn es denn einen gibt.
Tut es nicht.
Hast du eine lin. Abb [mm]\varphi[/mm] und eine Darstellungsmatrix [mm]A[/mm], die dir die Abbildung [mm]\varphi[/mm] bzgl. einer fest gewählten Basis [mm]B[/mm] beschreibt, so ist [mm]\varphi(\vec{x})=A\cdot{}\vec{x}[/mm]
Du kannst also Kern und Bild von [mm]\varphi[/mm] bestimmen, indem du dir die Abbildungsmatrix [mm]A[/mm] schnappst und Kern und Bild von [mm]A[/mm] bestimmst.
Möglicherweise irritiert die Bezeichnung in dieser Aufgabe (die ich persönlich blöd finde)
[mm]D[/mm] für die lin. Abb, [mm][D]_{B_1}^{B_1}[/mm] für die Darstellungsmatrix von [mm]D[/mm] bzgl. [mm]B_1[/mm]
> (Also zwischen
> Kern und Kern bzw. Bild und Bild.)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Voij |
Wunderbar, danke.
War allerdings auch, soweit ich mitbekommen konnte, nicht die erste seltsame gestellte Frage bisher. Hatten z.B. eine Aufgabe, bei der wir Grenzwerte bestimmen sollten, ("Bestimmen sie die Grenzwerte von..."), und dann war da u.A. eine divergente Funktion die im unendlichen zwischen + und - unendlich alterniert. >.<
Danke nochmal für die Hilfe und ich wünsch noch einen schönen Tag.
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Hallo nochmal,
du kannst etwa den Kern(D) aus der Abbildungsvorschrift so herausbekommen (also ohne die Darstellungsmatrix)
Gesucht ist die Menge aller Polynome mit Grad [mm]\le 3[/mm] und Koeffizienten aus [mm]\IC[/mm], also [mm]p(t)\in\IC_{\le 3}[t][/mm] mit
[mm]D(p(t))=0[/mm] (=Nullpolynom in [mm]\IC_{\le 3}[t][/mm], also [mm]0=0+0\cdot{}t+0\cdot{}t^2+0\cdot{}t^3}[/mm]
Nun schaue, was D mit einem Polynom [mm]p(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3[/mm] tut.
Es wird abgebildet auf [mm]D(p(t))=p_1+2p_2t+3p_3t^2[/mm]
Und das soll [mm]=0[/mm] sein.
Das liefert an [mm]p_0,...,p_3[/mm] die Bedingungen:
1) [mm]p_1=p_2=p_3=0[/mm]
2) [mm]p_0[/mm] beliebig.
Sprich: es sind die konstanten Polynome, die im Kern liegen:
[mm] $p(t)=p_0$
[/mm]
Fassen wir die Koeffizienten als Vektor [mm]\vektor{p_0\\
p_1\\
p_2\\
p_3}[/mm] auf.
So ist einer im Kern(D) genau dann, wenn er so aussieht: [mm]\vektor{\overbrace{p_0}^{\text{bel.}}\\
0\\
0\\
0}[/mm]
Also genau unser über die Matrix errechneter Kern [mm]\left\{r\cdot{}\vektor{1\\
0\\
0\\
0}\mid r\in\IC\right\}[/mm]
Was tut eigentlich die Abbildung $D$?
Was berechnet man mit ihr?
Gruß
schachuzipus
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