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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 09.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Ich hab hier eine Aufgabe:
A [mm] \in [/mm] M(n;K) sei eine untere Dreiecksmatrix, deren Hauptdiagonale nur aus Nullen besteht.
Zeigen Sie, das A Nilpotent ist.
Kurs gefasst also:
z.b. A =
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm]
A² ist dann:
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm]
und [mm] A^3 [/mm] ist die Nullmatrix und damit Nilpotent.
Reicht das wenn die Frage lautet, wir sollen es zeigen das A Nilptent ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Thomas,
du hast das Prinzip verstanden, aber du musst es allgemein beweisen, d.h. nicht per einem Beipspiel.
Da würde sich z.B. vollständige Induktion anbieten - du nimmst eine allgemeine Matrix $ A=( [mm] a_{ij} [/mm] ) $ mit $ [mm] a_{ij}=0 [/mm] $ für $ [mm] i\ge [/mm] j $
Induktionsanfang : A² verliert eine Nebendiagonale
im Induktionsschritt musst du nun zeigen: $ [mm] rang(A^{i+1}) [/mm] < [mm] rang(A^i) [/mm] $
dabei kannst du davon ausgehen, dass sowohl $ [mm] A^i [/mm] $ als auch A echte untere Dreiecksmatrizen sind...
Du musst wohl alles ziemlich allgemein machen - viel Indezies und viel Schreiberei, aber im Grunde weißt du ja, was passiert.
Vielleicht gibt es noch einen schöneren Weg...
mal abwarten.
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 09.01.2005 | | Autor: | Guerk |
Hallo,
eine andere Möglichkeit wäre diese:
Betrachte die Matrix als Endomorphismus bezüglich einer beliebigen Basis [mm] v_{1},v_{2},\dots,v_{n} [/mm] eines n-dimensionalen K-Vektorraums V.
Dann definiert [mm] V_i:=Kv_1+Kv_2+\dots+Kv_i [/mm] für [mm] i=0,\dots,n [/mm] eine Fahne [mm] 0=V_0\subset V_1\subset V_2\subset\dots\subset V_n [/mm] mit [mm] f(V_i)\subseteq V_{i-1} [/mm] für alle [mm] i=1,\dots, [/mm] n. Also gilt auch [mm] f^i(V)\subseteq V_{n-i},i=1,\dots,n [/mm] und insbesondere [mm] f^n(v)=0. [/mm] Dann hat [mm] f^n [/mm] aber bezüglich der gewählten Basis die Nullmatrix als darstellende Matrix.
Grüße
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