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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 06.10.2011 | | Autor: | FMX87 |
| Aufgabe | Die Frage stellt sich mir selbst:
Angenommen man soll die Lösungen folgender Matrizen berechnen:
Matrix 1:
[mm] x_{1}| x_{2}| x_{3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2&3&5 \\ 4 & 5&6&7\\0&0&0&0}
[/mm]
Matrix2:
[mm] x_{1}| x_{3}| x_{2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2&3&5 \\ 4 & 5&6&7\\0&0&0&0} [/mm] |
Hallo!
In beiden Matrizen ist die Lösungsmenge abhänig von einer Variablen. Wegen der Nullzeile.
zu Matrix1:
Muss man hier [mm] x_{3} [/mm] als Variable verwenden?
zu Matrix2:
Hier habe ich [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] vertauscht. Muss ich deswegen [mm] x_{2} [/mm] als freie Variable annehemen, weil es am Ende steht?
Im allgemeinen müsste es doch in so einem Fall egal sein, nach welcher Variable man auflöst, oder? Man muss sich nur für eine entscheiden?
Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
gruß
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moin FMX,
In deinem Fall hast du in jedem Punkt recht.
Du kannst hier eine der Variablen beliebig wählen und danach auflösen.
Aber, wie gesagt, nur in deinem Fall.
Ein Fall, wo das nicht geht, wäre diese Matrix:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 10 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0
}$
[/mm]
Löst man dieses LGS mit Gauß auf (ich hoffe der Gauß-Algorithmus sagt dir was^^), dann passiert folgendes:
1. zieht man von er zweiten Zeile 5x die erste ab ergibt sich:
-> [mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -9 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
An dieser Stelle sieht man, dass [mm] $x_3$ [/mm] eindeutig bestimmt ist [mm] ($\frac{13}{9}$), [/mm] du könntest also nur [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] beliebig wählen.
Möglichkeit Nr. 2 wäre folgende:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
zieht man hier von der zweiten Zeile 2x die erste ab ergibt sich:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
hier kannst du dann sogar zwei Variablen beliebig wählen.
Möglichkeit Nr. 3 ist:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
auch hier von der zweiten Zeile 2x die erste abziehen:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Hier siehst du, dass in der zweiten Zeile steht 0=2, also ein Widerspruch, dieses LGS hätte also überhaupt keine Lösung.
Wie du siehst kannst du nicht immer beliebig wählen.
Wenn du wissen willst welche du wählen darfst bring das LGS mit dem Gaußalgorithmus so weit wie möglich in Zeilenstufenform.
Dann kannst du genau die Variablen frei wählen, in dessen Spalten du keinen Zeilenstufenanfang hast.
Also bei dieser Matrix hier:
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Hast du nur in der ersten Spalte einen Zeilenstufenanfang, du kannst also die Variable in der zweiten und dritten Spalte frei wählen.
[mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -9 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
hier hast du in der ersten und in der dritten Spalte einen Zeilenstufenanfang, du kannst also die Variable in der zweiten Spalte frei wählen.
Hierbei ist es, wie du richtig festgestellt hast, vollkommen egal ob nun in der dritten Spalte [mm] $x_2$ [/mm] steht oder in der dritten Spalte [mm] $x_3$, [/mm] wichtig ist nur, dass du dich einmal entscheidest was in welcher Spalte steht und dabei bleibst.
Falls es noch Fragen gibt oder ewas unklar sein sollte sag bescheid. ;)
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Do 06.10.2011 | | Autor: | FMX87 |
Danke für die ausführliche und klare Antwort!
gruß
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