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| Aufgabe | Sei A die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 }
[/mm]
Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, sodass SA Zeilenstufenform hat. |
Hallo!
mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass es sich hier um eine 3 x 4 Matrix handelt. Hätte ich eine quadratische Matrix, würde ich diese erst invertieren und das Ergebnis wäre mein S.
Aber die Matrix, die ich hier habe kann ich doch gar nicht invertieren!? Wie soll ich hier vorgehen?
Lg
Karotte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du kannst diese Matrix doch auf Zeilenstufenform bringen mittels des Gaußalgorithmus. Ist Dir das unklar? Oder ist Dir unklar, was die Zeilenstufenform überhaupt ist?
Dann schau Dir das hier vll. mal an:
![[]](/images/popup.gif) http://math-www.uni-paderborn.de/~linalg1/vorlesung/lin.woche6+7.pdf
Und dann schaust Du Dir z.B. in dem folgenden Skriptum ab S.22 Kapitel 5 an, insbesondere Satz 5.3 + Beweis dazu:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~schulz/script.pdf
und wenn Du die Aussage bzw. den Beweis des Satzes verstehst und damit auch den Zusammenhang, wie man die einzelnen Schritte im Gaußalgorithmus mittels Multiplikationen gewisser Matrizen "zusammenfassen" kann, sollte Dir klar sein, was hier zu tun ist. Im Prinzip ist die Lösung Deiner Aufgabe hier das in Satz 5.3 auftretende Matrixprodukt [mm] $S_t [/mm] * ... [mm] *S_1$ [/mm] mit [mm] $S_k \in \IR^{3 \times 3}$, [/mm] $k=1,...,t$, wobei diese [mm] $S_k$ [/mm] dort "Elementarmatrizen" genannt werden (siehe Seite 24).
Also finde diese [mm] $S_k$ [/mm] hier heraus und berechne anschließend [mm] $S:=S_t*...*S_1 \in \IR^{3 \times 3}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich hätte aber noch eine Frage zu deinem Skript:
Die LR-Zerlegung habe ich verstanden, bis zu dieser Permutation.
Vertausche 1.Zeile mit 1.Zeile
Vertausche 2.Zeile mit 4.Zeile
usw.
Ich verstehe nicht, wie man auf das P kommt. (Seite 24 oben)
Bei welcher Matrix muss ich die Zeilen vertauschen?
Lg
Karotte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du die Matrix [mm] P_{ij} [/mm] von rechts mit der Matrix A multiplizierst, so vertauschst du die i. und j. Zeile der Matrix A miteinander.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mo 18.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> wenn du die Matrix [mm]P_{ij}[/mm] von rechts mit der Matrix A
> multiplizierst, so vertauschst du die i. und j. Spalte der
> Matrix A miteinander.
Wirklich? Wenn ich [mm] P_{ij} [/mm] von rechts mit A multipliziere, dann steht A rechts, also werden doch in A Zeilen vertauscht. Oder gibt es neue Entwicklungen, die ich verschlafen habe?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hast recht. Tut mir leid..das sind ja elementare Zeilentrafos, die ich da mache... Sry.
LG
Kroni
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Aber so komme ich doch nicht auf P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Kann mir das bitte jemand etwas genauer erklären?
Lg
Karotte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karotte,
ehrlich gesagt weiß ich gerade nicht, ob meine Antwort Deine Frage beantworten wird  Aber trotzdem:
In dem Skript sind einige Formulierungsschwächen (es ist aber auch nicht von mir, ich musste nur mal damit arbeiten ):
In Lemma 5.2 ist zum Beispiel die Matrix [mm] $P_{i,j}$, [/mm] wenn man [mm] $P_{i,j}*A$ [/mm] berechnet, eine $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix, aber die Matrix [mm] $P_{i,j}$, [/mm] wenn man [mm] $A*P_{i,j}$ [/mm] berechnet, eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix.
Erstmal ein spezielles (nichtsdestotrotz formales und auch ein wenig allgemeines) Beispiel zu den Aussagen dort:
Nehmen wir mal eine einfache Matrix
[mm] $A=\pmat{a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4}$
[/mm]
Linkerhand multipliziere mal
[mm] $P_{2,3}=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }$
[/mm]
heran:
Die erste Zeile bleibt stehen, die zweite wird durch die dritte ersetzt, die dritte wird durch die zweite ersetzt. Das erkennt man sehr schnell trivial, wenn man mit dem Matrixprodukt rechnen kann, also:
[mm] $P_{2,3}*A=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }*\pmat{a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4}=\pmat{a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4}$
[/mm]
Wenn wir nun [mm] $A*P_{2,3}$ [/mm] rechnen, dann ist rechterhand nicht das [mm] $P_{2,3}$ [/mm] von oben gemeint, sondern
[mm] $P_{2,3}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$
[/mm]
(Deswegen hätte ich persönlich z.B. einmal [mm] $P^{(m)}_{i,j}$ $(\in \IR^{m \times m})$ [/mm] bei [mm] $P_{i,j}*A$ [/mm] geschrieben, sowie [mm] $P^{(n)}_{i,j}$ [/mm] bei [mm] $A*P_{i,j}$.)
[/mm]
Berechne nun mal [mm] $A*P_{2,3}$ [/mm] (mit dem letztgemeinten [mm] $P_{2,3}=P^{(4)}_{2,3}$):
[/mm]
[mm] $A*P_{2,3}=\pmat{a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4}*\pmat{1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}=\pmat{a_1 & a_3 & a_2 & a_4 \\ b_1 & b_3 & b_2 & b_4 \\ c_1 & c_3 & c_2 & c_4}$
[/mm]
Ganz allgemein kannst Du das so begründen:
[mm] $A=\pmat{a_{1,1} & a_{1,2} & . & . &. & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & . & . &. & a_{2,n}\\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ \\ a_{m,1} & a_{m,2} & . & . &. & a_{m,n}}$
[/mm]
Dann ist
[mm] $P^{(m)}_{i,j}=\pmat{p_{1,1} & p_{1,2} & . & . &. & p_{1,m} \\ p_{2,1} & p_{2,2} & . & . &. & p_{2,m}\\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ \\ p_{m,1} & p_{m,2} & . & . &. & p_{m,m}}$, [/mm] wobei:
[mm] $p_{r,s}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } r=s \mbox{ und } r \notin \{i,j\} \\ 1, & \mbox{falls } r=j \mbox{ und } s=i\\ 1, & \mbox{ falls } r=i \mbox{ und } s=j\\0, & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
(Mit anderen Worten:
Alle Einträge entsprechen denen der Einheitsmatrix, nur:
- in der $j$-ten Zeile steht die $1$ in der $i$-ten Spalte
- in der $i$-ten Zeile steht die $1$ in der $j$-ten Spalte.)
Wenn Du nun bei der Matrix [mm] $P^{(m)}_{i,j}*A$ [/mm] den Eintrag in Zeile $v$ und Spalte $w$ berechnest, wird herauskommen, dass
[mm] $P^{(m)}_{i,j}*A$
[/mm]
gerade die Zeilen $i$ und $j$ in der Matrix $A$ vertauscht hat.
(D.h., wenn wir
[mm] $X=P^{(m)}_{i,j}*A$ [/mm]
setzen mit
[mm] $X=\pmat{x_{1,1} & x_{1,2} & . & . &. & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & . & . &. & x_{2,n}\\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ . & . & . & . &. & . \\ \\ x_{m,1} & x_{m,2} & . & . &. & x_{m,n}}$, [/mm] so ist:
[mm] x_{v,w}=\begin{cases} a_{v,w}, & \mbox{falls } v \notin \{i,j\} \\ a_{i,w}, & \mbox{falls } v=j \\ a_{j,w}, & \mbox{falls } v=i \end{cases}.)
[/mm]
Analoges gilt für die Spalten (bei [mm] $A*P^{(n)}_{i,j}$), [/mm] was man sich mittels dieses Ergebnisses vll. auch schnell durch die Transponierten Matrizen klarmachen kann (ist nur eine mögliche Idee, die ich gerade nicht zu Ende gedacht habe ).
Gruß,
Marcel
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