Matrix Eigenwert Beweis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 24.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll bei einer Aufgabe zeigen ,dass die Lösung der Gleichung [mm] det(A-\lambda [/mm] I)=0 genau die Eigenwerte der Matrix A sind.
Ich hätte das so aufgeschrieben:
[mm] det(A-\lambda [/mm] I) = [mm] \vmat{ a11-\lambda & a12 & a1m \\ a21 & a22-\lambda & a2m \\ am1 & am2 & amm-\lambda } [/mm] = [mm] Pn(\lambda)
[/mm]
d.h. [mm] det(A-\lambda [/mm] I) ist ein Polynom n-ten Grades mit Variable [mm] \lambda [/mm] (symbolisch [mm] Pn(\lambda)
[/mm]
[mm] Pn(\lambda) [/mm] ist das charakterischtische Polynom welches als Lösung die EW der Matrix A hat.
Kann man das als gezeigt akzeptieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 24.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Ich soll bei einer Aufgabe zeigen ,dass die Lösung der
> Gleichung [mm]det(A-\lambda[/mm] I)=0 genau die Eigenwerte der
> Matrix A sind.
>
> Ich hätte das so aufgeschrieben:
>
> [mm]det(A-\lambda[/mm] I) = [mm]\vmat{ a11-\lambda & a12 & a1m \\ a21 & a22-\lambda & a2m \\ am1 & am2 & amm-\lambda }[/mm]
> = [mm]Pn(\lambda)[/mm]
>
> d.h. [mm]det(A-\lambda[/mm] I) ist ein Polynom n-ten Grades mit
> Variable [mm]\lambda[/mm] (symbolisch [mm]Pn(\lambda)[/mm]
> [mm]Pn(\lambda)[/mm] ist das charakterischtische Polynom welches
> als Lösung die EW der Matrix A hat.
>
> Kann man das als gezeigt akzeptieren?
Nein.
Ist [mm] \lambda [/mm] so, dass $ [mm] det(A-\lambda [/mm] I)=0 $, so ist das äquivalent zu [mm] $Kern(A-\lambda [/mm] I) [mm] \ne \{0\}$. [/mm] Dies bedeutet gerade, dass es ein x [mm] \ne [/mm] 0 gibt mit [mm] Ax=\lambda [/mm] x.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 24.04.2014 | | Autor: | racy90 |
okay
Aber wie zeige ich das möglichst einfach und schnell?
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> okay
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> Aber wie zeige ich das möglichst einfach und schnell?
Hallo,
Fred hat's Dir doch schon fast hingeschrieben:
> > Ist [mm] \lambda [/mm] so, dass
> > $ [mm] det(A-\lambda [/mm] I)=0 $,
> > so ist das äquivalent zu
> > [mm] $Kern(A-\lambda [/mm] I) [mm] \ne \{0\}$. [/mm]
> > Dies bedeutet gerade,
> > dass es ein x [mm] \ne [/mm] 0 gibt mit
...=0,
und das ist äquivalent zu
> > [mm] Ax=\lambda [/mm] x.
Also ist [mm] \lambda [/mm] ein EW von A.
LG Angela
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Hallo,
Fred hat schon gesagt, dass du damit eigentlich noch nix gezeigt hast.
Problematisch ist hier in der Überlegung auch folgendes:
> Hallo
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> Ich soll bei einer Aufgabe zeigen ,dass die Lösung der
> Gleichung [mm]det(A-\lambda[/mm] I)=0 genau die Eigenwerte der
> Matrix A sind.
>
> Ich hätte das so aufgeschrieben:
>
> [mm]det(A-\lambda[/mm] I) = [mm]\vmat{ a11-\lambda & a12 & a1m \\ a21 & a22-\lambda & a2m \\ am1 & am2 & amm-\lambda }[/mm]
> = [mm]Pn(\lambda)[/mm]
Wer sagt dir denn, dass du eine 3x3-matrix hast? Das ist ja offen. Du hast eine nxn-Matrix.
Am besten du machst dir auch noch einmal klar, was es bedeutet, wenn ein [mm] \lambda [/mm] Eigenwert ist.
Also [mm] Ax=\lambda{x}, [/mm] dann ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert, und [mm] x\not=0 [/mm] Eigenvektor.
Schreibe das kann man aber umschreiben in [mm] (A-\lambda{E})x=0
[/mm]
Nun überlege dir am besten noch einmal, wie das mit den Lösungen von Gleichungssystemen in Verbindung mit der Determinante war.
>
> d.h. [mm]det(A-\lambda[/mm] I) ist ein Polynom n-ten Grades mit
> Variable [mm]\lambda[/mm] (symbolisch [mm]Pn(\lambda)[/mm]
> [mm]Pn(\lambda)[/mm] ist das charakterischtische Polynom welches
> als Lösung die EW der Matrix A hat.
>
> Kann man das als gezeigt akzeptieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 24.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja 3 verschiedene Fälle gibt es
1. Ax=b ist unlösbar wenn rg(A b) > rg(A)
2. Ax=b eindeutige Lösung wenn r=n
3. Ax=b mehrdeutige Lösung wenn r<n
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> Naja 3 verschiedene Fälle gibt es
Hallo,
Du antwortest nicht auf das, was Richie Dich gefragt hat.
> 1. Ax=b ist unlösbar wenn rg(A b) > rg(A)
> 2. Ax=b eindeutige Lösung wenn r=n
> 3. Ax=b mehrdeutige Lösung wenn r<n
Wir hatten
[mm] \lambda [/mm] ist EW von A
<==> es gibt ein [mm] x\not=0 [/mm] mit [mm] Ax=\lambda [/mm] x
<==> es gibt ein [mm] x\not=0 [/mm] mit [mm] (A-\lambda [/mm] I)x=0.
Also: wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von A ist, hat das homogene LGS [mm] (A-\lambda [/mm] I)x=0
mehr als eine Lösung.
Die Frage war: was wissen wir nun über [mm] det(A-\lambda [/mm] I)?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja wenn das LGS [mm] \lambda [/mm] * I -A eine nicht triviale Lösung hat ,ist das genau der Fall wenn [mm] \lamda [/mm] *I-A singulär ist , also wenn [mm] det(\lambda [/mm] *I-A)=0 gilt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja wenn das LGS [mm]\lambda[/mm] * I -A
Du meinst sicher das LGS [mm] $(\lambda [/mm] I-A)x=0$
> eine nicht triviale
> Lösung hat ,ist das genau der Fall wenn [mm]\lamda[/mm] *I-A
...... [mm] $\lambda [/mm] I-A$ .....
> singulär ist , also wenn [mm]det(\lambda[/mm] *I-A)=0 gilt
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Vielen Dank
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