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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 So 16.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo!
...ich weiss dass diese Frage schon sicher mehrmals gekommen ist, habe auch im Internet schon viel über den unterschied von Fixgerade und Fixpunktgerade (bzw. Fixebene und Fixpunktebene) gelesen. Nur wie rechne ich diese aus?
A * [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] - so erhält man den Fixpunkt wenn die Gleichung aufgeht, wenn es eine unbekannte zuviel hat gibt es eine Fixgerade und wenn es 2 unbekannte zuviel hat eine Fixebene, oder?
Wie bekomme ich eine FixPUNKTgerade / FixPUNKTebene??? Wo seh ich den unterschied?
Christian
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Hallo qsxqsx,
> Hallo!
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> ...ich weiss dass diese Frage schon sicher mehrmals
> gekommen ist, habe auch im Internet schon viel über den
> unterschied von Fixgerade und Fixpunktgerade (bzw. Fixebene
> und Fixpunktebene) gelesen. Nur wie rechne ich diese aus?
>
> A * [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] - so
> erhält man den Fixpunkt wenn die Gleichung aufgeht, wenn
> es eine unbekannte zuviel hat gibt es eine Fixgerade und
> wenn es 2 unbekannte zuviel hat eine Fixebene, oder?
> Wie bekomme ich eine FixPUNKTgerade / FixPUNKTebene??? Wo
> seh ich den unterschied?
Schreibe obige Gleichung um:
[mm]A \vektor{x \\ y \\ z } = \vektor{x \\ y \\ z }[/mm]
[mm]\gdw A \vektor{x \\ y \\ z } - \vektor{x \\ y \\ z } = \pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Einen Fixpunkt bekommst Du daher immer dann,
wenn die Matrix A den Eigenwert 1 besitzt.
Eine Fixgerade bekommt man, wenn es ausser dem Fixpunkt,
einen Vektor v gibt für den gilt:
[mm]A*v=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Gibt es zwei linear unabhängige Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm],
so handelt es sich um eine Fixebene.
Das heisst, wenn die Matrix A Rang 2 bzw. Rang 1 besitzt.
>
> Christian
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 16.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...das v entspricht also auch quasi dem Kern? - bin grad etwas verwirrt. Und wie findet man jetzt die FixPUNKTgerade?
Danke
Gruss
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Hallo qsxqsx,
> ...das v entspricht also auch quasi dem Kern? - bin grad
Das stimmt wohl nicht ganz, was ich da geschrieben habe.
> etwas verwirrt. Und wie findet man jetzt die
> FixPUNKTgerade?
Fixpunktgerade heißt ja, daß diese
Gerade auf sich selbst abgebildet wird.
Ist [mm]g:\overrightaroow{x}=\overrightarrowarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm] diese Gerade, so muß gelten:
[mm]A*\left(\overrightarrowarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)-\left(\overrightarrowarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)=\pmat{0 \\\ 0 \\ 0}[/mm]
Berechne also die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm]\left(A-E\right)*\overrightarrow{x}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
, wobei E die Einheitsmatrix ist.
>
> Danke
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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> Hallo!
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> ...ich weiss dass diese Frage schon sicher mehrmals
> gekommen ist, habe auch im Internet schon viel über den
> unterschied von Fixgerade und Fixpunktgerade (bzw. Fixebene
> und Fixpunktebene) gelesen. Nur wie rechne ich diese aus?
>
> A * [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] - so
> erhält man den Fixpunkt wenn die Gleichung aufgeht, wenn
> es eine unbekannte zuviel hat gibt es eine Fixgerade und
> wenn es 2 unbekannte zuviel hat eine Fixebene, oder?
> Wie bekomme ich eine FixPUNKTgerade / FixPUNKTebene??? Wo
> seh ich den unterschied?
Hallo,
manches wurde ja schon gesagt.
Einen Fixpunkt hat jede lineare Abbildung: den Nullpunkt, denn für jede Matrix A ist A * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Suchst Du weitere Fixpunkte, so muß Du, wie Du auch selber sagst, die Punkte berechnen, für die A * [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] gilt,
also [mm] (A-1*E)=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Anders ausgedrückt: Du berechnest die Eigenvektoren bzw. den Eigenraum zum Eigenwert 1.
Jede Gerade, die durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] geht und deren Richtungsvektor ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, ist eine Fixpunktgerade.
Jede Ebene durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }, [/mm] die von zwei Eigenvektoren zum Eigenwert 1 aufgespannt wird, ist eine Fixpunktgerade.
Hat der Eigenraum zu 1 die Dimension 1, so gibt es genau eine Fixpunktgerade, hat er die Dimension 2, so hat er genau eine Fixpunktebene, und jede Gerade, die in dieser Ebene liegt, ist eine Fixpunktgerade.
Nun zu den Fixgeraden und Fixebenen.
Hier muß nicht jeder Punkt der Gerade/Ebene auf sich selbst abgebildet werden, sondern es kommt darauf an, daß das Bild des Punktes wieder auf der Geraden/Ebene liegt.
Jede Gerade durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] in Richtung eines Eigenvektors zu einem Eigenwert [mm] \lambda \not=0 [/mm] ist eine Fixgerade,
Jede Ebene durch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }, [/mm] die von zwei Eigenvektoren zu irgendwelchen zwei von 0 verschiedenen Eigenwerten aufgespannt wird, ist eine Fixebene.Du siehst also, daß die Bestimmung in jedem Fall über die Eigenwerte läuft.
Kurz:
Eigenwert 1 - Fixpunktgebilde
Eigenwerte von 0 verschieden - Fixgebilde.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mo 17.08.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Genau das wollt ich wissen! Danke vielmal!
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