Matrix: Inverse, Bild und Kern < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 15:04 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Hugo19 |
Hallo zusammen,
hat irgendjemand ein paar wirklich leichte Aufgaben um die Inverse, das Bild und den Kern einer Matrix zu begreifen?
Also so in der Art "Bestimmen Sie den Kern, das Bild und die Inverse der Matrix A"
Was mir bereits klar ist, dass wenn z.B. die Determinante ungleich 0 ist, oder die Matrix vollen Rang hat die Matrix invertierbar ist. Ich weiß nur nicht wie man diese berechnet.
Vielen vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Di 18.10.2011 | | Autor: | volk |
> Hallo zusammen,
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> hat irgendjemand ein paar wirklich leichte Aufgaben um die
> Inverse, das Bild und den Kern einer Matrix zu begreifen?
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> Also so in der Art "Bestimmen Sie den Kern, das Bild und
> die Inverse der Matrix A"
>
> Was mir bereits klar ist, dass wenn z.B. die Determinante
> ungleich 0 ist, oder die Matrix vollen Rang hat die Matrix
> invertierbar ist. Ich weiß nur nicht wie man diese
> berechnet.
>
> Vielen vielen Dank schonmal!
Hallo,
wenn es darum geht, die Inverse zu berechnen, mache ich es so, dass ich neben der Matrix eine Einheitsmatrix schreibe und die Ausgangsmatrix durch Zeilenoperationen in eine Einheitsmatrix umforme. Jede dieser Zeilenoperationen wende ich ebenfalls auf die Einheitsmatrix an.
Als kleines Beispiel
[mm] \pmat{ -3 & 3 \\ 2 & -3 } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] I = I+II
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 2 & -3 } \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] II = II+2*I
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -3 } \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 3 } [/mm] I = I*(-1) ; II = II : (-3)
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ -1 & -1 \\ -\bruch{2}{3} & -1 }
[/mm]
Gruß
volk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Di 18.10.2011 | | Autor: | Stoecki |
zum begreifen von kern und bild mach dir einfach mal folgendes beispiel klar:
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Wenn du (von rechts) einen vektor dran multiplizierst, wird das ergebnis in der ersten komponente immer eine 0 haben, also von der Form [mm] \vektor{0 \\ a} [/mm] sein. dem entsprechend kann ein vektor der form [mm] \vektor{a \\ 0} [/mm] nicht abgebildet werden und liegt dem entsprechend nicht im bild (sondern im kern. der kern sind also alle vektoren, die sich nicht durch [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 4 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] darstellen lassen. die im bild schon
dabei definiert dir die menge aller bild- (oder kern-) vektoren ein erzeugendensystem des bild- (bzw kern-) vektorraumes.
ich hoffe es hilft dir.
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> zum begreifen von kern und bild mach dir einfach mal
> folgendes beispiel klar:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 4 }[/mm]
> Wenn du (von rechts) einen vektor
> dran multiplizierst, wird das ergebnis in der ersten
> komponente immer eine 0 haben, also von der Form [mm]\vektor{0 \\ a}[/mm]
> sein. dem entsprechend kann ein vektor der form [mm]\vektor{a \\ 0}[/mm]
> nicht abgebildet werden und liegt dem entsprechend nicht im
> bild (sondern im kern. der kern sind also alle vektoren,
> die sich nicht durch [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 4 }[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
> darstellen lassen. die im bild schon
>
> dabei definiert dir die menge aller bild- (oder kern-)
> vektoren ein erzeugendensystem des bild- (bzw kern-)
> vektorraumes.
>
> ich hoffe es hilft dir.
Mit Verlaub: wenn ich mich in der Linearen Algebra nicht auskennen würde, so würde mir obiges überhaupt nicht helfen.
FRED
>
> gruß bernhard
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Hallo,
Du findest, wenn Du das Forum etwas durchstöberst, unter Garantie eine Fülle von passenden Aufgaben.
Oder mach Dir selbst Matrizen und bestimme Kern und Bild unf ggf. die Inverse. Du kannst sie dann in einem eigenen Thread posten und Dein Tun kontrollieren lassen.
Zunächst einmal ist es wichtig, daß Du den Gaußalgorithmus beherrschst.
Falls dies nicht der Fall ist, mußt Du Dir entsprechende Kenntnisse aneignen. Sofort.
Wenn Du den Gaußalgorithmus kannst, ist alles leicht.
Das Invertieren hat einer der Vorschreiber schon erklärt: wenn die Matrix A zu invertieren ist, starte mit A|E und bring dies mit Zeilenumformungen in die Gestalt E|B. Die Matrix, die nun rechts steht, ist die inverse Matrix zu A.
Bild:
Bring die Matrix A auf Zeilenstufenform.
Markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen.
Stehen diese z.B. in der 2., 3. und 5. Spalte, dann bilden die 2., 3. und 5.Spalte der Ausgangsmatrix A (!) zusammen eine Basis des Bildes der Matrix A.
Kern:
auch dies geht gut über die ZSF.
Sei [mm]\pmat{\red{1}&2&3&4\\
0&0&\red{1}&2\\
0&0&0&0} [/mm]die ZSF der zu betrachtenden Matrix.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 3.
Mann kann die 2. und 4. Variable frei wählen, mit
[mm] x_2:=s
[/mm]
[mm] x_4:=t
[/mm]
bekommt man
[mm] x_3=-2x_4=-2t [/mm] und
[mm] x_1=-2x_2-3x_3-4x_4=-2s-3*(-2t)-4t=-2s+2t.
[/mm]
Also haben die Vektoren des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-2s+2t\\s\\-2t\\t}=s*\vektor{-2\\1\\0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{2\\0\\-2\\1}.
[/mm]
Die beiden Vektoren bilden zusammen eine Basis des Kerns.
(Wenn man die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vorliegen hat, kann man mit dem "-1-Trick" den Kern sogar direkt ablesen. Bei Interesse erstmal im Forum stöbern.)
Gruß v. Angela
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