Matrix, affiner Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 02.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich bin´s mal wieder. 
Folgende Aufgabe:
Ich hab eine Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 5 & 7 \\ 4 & -1 & -1 & -1 } [/mm] und b= [mm] \vektor{10 \\ 11 \\21 \\1}. [/mm]
Jetzt soll ich L = {x [mm] \in \IQ^{4} [/mm] : Ax=b} bestimmten. Das ist klar.
Dan soll ich L in der Form L = [mm] v_{0} [/mm] + U beschreiben ( [mm] v_{0} \in \IQ^{4} [/mm] und U [mm] \subset \IQ^{4} [/mm] Untervektorraum).
Für [mm] v_{0} [/mm] kann ich doch eine mögliche Lösung des Linearen Gleichungssystems nehmen, oder?
Also z.B. [mm] v_{0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
U = ker(A) = ker [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 9 & 13 & 17 }
[/mm]
(Dazu muss man ja Ax= 0 setzen, dann fallen die letzten 2 Zeilen weg)
Ich hab jetzt ein lineares Gleichungssystem aufgeschrieben:
[mm] x_{1} +2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] = 0
[mm] 9x_{2} +13x_{3}+17x_{4} [/mm] =0
Weiter hab ich [mm] x_{3} [/mm] = 1 und [mm] x_{4} [/mm] = 1 gesetzt und berechnet: [mm] x_{1}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}, x_{2}= [/mm] - [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
daraus folgt: U= K [mm] \vektor{1 \\ 10 \\ -3 \\ -3} [/mm] .
Kann man das so machen?
Danke schon mal.
Gruß
Annette
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 02.12.2004 | | Autor: | Gero |
Also, ich hab zu obigem noch ne andere Lösung:
Also, klar: Das ganze als Lineares Gleichungssystem aufstellen Ax=0
wenn ich das nun auf Dreiecksform bringe bekomme ich:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 | 0 \\ 0 & -9 & -13 & -17 | 0}
[/mm]
Nun ist der Rang kleiner als die Anzahl meiner Variablen. So hab ich 2 Variablen über die ich frei bestimmen kann.
[mm] \Rightarrow x_{3}= \alpha [/mm] und [mm] x_{4}= \beta
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] durch umformen: [mm] \alpha \vektor{ \bruch{70}{9} \\ \bruch{17}{9} \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta \vektor{ \bruch{-1}{9} \\ \bruch{-13}{9} \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Das hab ich nun eine Ebene. Ist eine Ebene nicht ein Unterraum? Kann ich das so alles machen?
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
P.S.: Es könnte sein, dass ich mich mal verrechnet habe und so komische Werte rauskommen! *gg*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hexe |
So ich antworte mal nur einmal da es ja um dasselbe Problem geht.
Also nachdem 2 Zeilen der Matrix lin abhängig sind hat sie Rang 2 also hat der Lösungsraum Rang 2, muss also eine Ebene sein.
So gero du hast nur nen Vorzeichenfehler und die Zuordnungen vertauscht . Die Lösung lautet also
[mm] \IL_{0} [/mm] = [mm] a*\vektor{-1/9\\-13/9\\1\\0}+b*\vektor{-2/9\\-17/9\\0\\1}
[/mm]
oder als ein Vektor
[mm] \vektor{ \bruch{-1}{9}a+ \bruch{-2}{9}b \\ \bruch{-13}{9}a+ \bruch{-17}{9}b\\a\\b}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Gero |
OK, danke schön! Das ist endlich mal was, dass ich aus der Schule kenne! *stolzaufdieSchulterklopft*
Gruß Gero
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Deine Lösung lautet L=a [mm] \pmat{ -1/9 \\ -13/9 \\ 1 \\ 0}+b \pmat{ -2/9 \\ -17/9 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Was stellt hier [mm] v\_{o} [/mm] dar und was U?
Ist L= [mm] \pmat{ 21/9 \\ 39/9 \\ 0\\ 0 }+ [/mm] K [mm] \pmat{ 1 \\ 10 \\ -3 \\ -3 } [/mm] auch richtig?
Was ist dann die Basis von U?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Also da hab ich mich schlecht ausgedrückt, sorry :
a [mm]\pmat{ -1/9 \\ -13/9 \\ 1 \\ 0}+b \pmat{ -2/9 \\ -17/9 \\ 0 \\ 1 } =U
[/mm], also sind die Beiden Vekoren eine Basis von U.
und zusammen mit [mm] v_{0}=\pmat{ 12/9 \\ 39/9 \\ 0\\ 0 }
[/mm]
gibt es dann L
Die andere Lösung ist nicht richtig weil sie nur Dimension 1 hat also zu klein ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Deine Lösung für [mm] v_{0} [/mm] ist natürlich am einfachsten, ansonsten ginge auch [mm] \vektor{21/9\\39/9\\0\\0} [/mm] Für den Rest der Antwort S.u.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ok, danke.
Hab nur für [mm] x_{1} [/mm] nen anderen Wert rausgekriegt. > [mm]\vektor{4/3\\39/9\\0\\0}[/mm]
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Stimmt 10- [mm] \bruch{78}{9} =\bruch{12}{9} [/mm] *schäm*
Danke
Gruß Hexe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ok, alles klar.
Danke für deine Hilfe.
Gruß
Annette
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